Номер 21.4, страница 125 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.4. Населенные пункты $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ расположены так, что пункт $\text{A}$ находится в нескольких километрах к югу от $\text{D}$, пункты $\text{B}$ и $\text{C}$ — на одинаковых расстояниях к западу и востоку (соответственно) от $\text{A}$. Верно ли, что $\text{B}$ и $\text{C}$ находятся на одинаковом расстоянии от пункта $\text{D}$?

Да, это утверждение верно. Чтобы доказать это, рассмотрим геометрическое расположение точек.

Пусть точки A, B, C и D расположены на плоскости. По условию, точка A находится к югу от D. Это значит, что точки D и A лежат на одной прямой, ориентированной с севера на юг.

Точки B и C находятся на одинаковых расстояниях к западу и востоку от A. Это означает, что отрезок BC перпендикулярен прямой DA, а точка A является серединой отрезка BC. Из этого следует, что длины отрезков AB и AC равны: $AB = AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$. Эти треугольники являются прямоугольными, так как направление север-юг (прямая DA) перпендикулярно направлению запад-восток (прямая BC), следовательно, $\angle DAB = \angle DAC = 90^\circ$.

Мы можем сравнить эти два треугольника:

1. Катет $AD$ является общим для обоих треугольников.

2. Катет $AB$ равен катету $AC$ по условию задачи.

По двум катетам, прямоугольные треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$ равны. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз:

$DB = DC$

Следовательно, точки B и C находятся на одинаковом расстоянии от точки D.

Ответ: Да, верно.