Номер 20.19, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

20.19. Изобразите две точки A и B. Укажите точки, расстояния от которых до точек A и B равны.

20.19. Чтобы найти все точки, равноудаленные от двух заданных точек А и В, необходимо определить их геометрическое место.

Изобразим на плоскости две различные точки А и В. Пусть точка M является одной из искомых точек. По условию, расстояние от точки M до точки А равно расстоянию от точки M до точки B. Это можно записать в виде равенства длин отрезков: $MA = MB$.

Совокупность всех точек плоскости, удовлетворяющих заданному свойству, называется геометрическим местом точек. В данном случае мы ищем геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Рассмотрим отрезок AB, соединяющий точки A и B. Любая точка M, для которой выполняется равенство $MA = MB$, является вершиной равнобедренного треугольника $\triangle AMB$ с основанием AB (если M не лежит на отрезке AB).

Докажем, что искомым геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Доказательство состоит из двух частей:

1. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Пусть прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, а точка K — середина отрезка AB. Тогда $AK = KB$ и $l \perp AB$.

Возьмем любую точку M на прямой $l$. Рассмотрим треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BKM$.

Они оба прямоугольные, так как $\angle AKM = \angle BKM = 90^\circ$.

- Сторона MK — общий катет.

- Стороны AK и BK равны, так как K — середина AB.

Следовательно, треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BKM$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $MA = MB$. Таким образом, любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от точек А и В.

2. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Пусть некоторая точка M равноудалена от точек A и B, то есть $MA = MB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Он является равнобедренным с основанием AB.

Проведем медиану MK из вершины M к середине K отрезка AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, $MK \perp AB$.

Это означает, что точка M лежит на прямой, проходящей через середину K отрезка AB и перпендикулярной ему. По определению, эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Из этих двух утверждений следует, что множество всех точек, равноудаленных от точек A и B, и множество точек серединного перпендикуляра к отрезку AB совпадают.

Ответ: Точки, расстояния от которых до точек А и В равны, образуют прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB (то есть прямую, проходящую через середину отрезка AB и перпендикулярную ему).