Номер 20.14, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.14. Могут ли попарно касаться друг друга:

а) три окружности;

б) четыре окружности;

в) пять окружностей?

а) Да, три окружности могут попарно касаться друг друга.

Рассмотрим три окружности с центрами $O_1, O_2, O_3$ и радиусами $r_1, r_2, r_3$ соответственно. Чтобы они попарно касались (для простоты рассмотрим внешнее касание), расстояния между их центрами должны быть равны суммам соответствующих радиусов:

$O_1O_2 = r_1 + r_2$

$O_2O_3 = r_2 + r_3$

$O_3O_1 = r_3 + r_1$

Эти три отрезка всегда образуют треугольник, так как для любых положительных радиусов выполняется неравенство треугольника. Например, $(r_1 + r_2) + (r_2 + r_3) = r_1 + 2r_2 + r_3 > r_1 + r_3$.

Таким образом, можно расположить центры окружностей в вершинах такого треугольника, и окружности будут попарно касаться. Простейший пример — три одинаковые окружности, центры которых расположены в вершинах равностороннего треугольника.

Ответ: да, могут.

б) Да, четыре окружности также могут попарно касаться друг друга.

Для этого можно использовать конструкцию, известную как окружности Содди.

1. Возьмем три попарно касающиеся окружности $C_1, C_2, C_3$, как в пункте а). Они образуют в центре криволинейный треугольник, ограниченный дугами этих окружностей.

2. В эту центральную область можно вписать четвертую окружность $C_4$, которая будет касаться всех трех исходных окружностей.

В такой конфигурации каждая из окружностей $C_1, C_2, C_3$ касается двух других по построению, а также касается центральной окружности $C_4$. Окружность $C_4$ касается $C_1, C_2$ и $C_3$. Следовательно, все четыре окружности попарно касаются друг друга.

Другой вариант — три малые попарно касающиеся окружности находятся внутри одной большой окружности и касаются ее. В этом случае большая окружность будет четвертой, и все четыре также будут попарно касаться.

Ответ: да, могут.

в) Нет, пять окружностей на плоскости не могут попарно касаться друг друга.

Докажем это от противного. Предположим, что существует пять окружностей $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$, каждая из которых касается четырех остальных.

Эту систему можно представить в виде графа, где вершины — это центры окружностей, а ребра соединяют центры касающихся окружностей. Поскольку каждая окружность касается каждой другой, наш граф должен быть полным графом с 5 вершинами (обозначается $K_5$). В этом графе каждая из 5 вершин соединена ребром с остальными 4 вершинами.

Граф, построенный на основе касающихся на плоскости окружностей (граф касаний), всегда является планарным. Планарный граф — это граф, который можно изобразить на плоскости так, чтобы его ребра не пересекались.

Однако, согласно теореме из теории графов (теорема Куратовского), полный граф $K_5$ не является планарным. Его невозможно нарисовать на плоскости без пересечения ребер.

Таким образом, мы приходим к противоречию: если бы пять окружностей могли попарно касаться, соответствующий им граф $K_5$ должен был бы быть планарным, но известно, что он непланарный. Следовательно, исходное предположение неверно.

Более наглядно: рассмотрим конфигурацию из четырех попарно касающихся окружностей (пункт б). Например, три окружности "обнимают" четвертую, находящуюся в центре. Пятая окружность должна коснуться их всех. Но если она коснется центральной (внутренней) окружности, она не сможет коснуться ни одной из внешних, и наоборот.

Ответ: нет, не могут.