Номер 20.11, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.11. Две окружности с центрами в точках $O_1$, $O_2$ пересекаются в точках $\text{A}$ и $\text{B}$. Докажите, что $\angle O_1 A O_2 = \angle O_1 B O_2$ (рис. 20.10).

Рис. 20.10

Для доказательства равенства углов $\angle O_1AO_2$ и $\angle O_1BO_2$ рассмотрим треугольники $\triangle O_1AO_2$ и $\triangle O_1BO_2$.

1. Так как точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности с центром в точке $O_1$, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны: $O_1A = O_1B$.

2. Аналогично, так как точки $A$ и $B$ лежат на второй окружности с центром в точке $O_2$, отрезки $O_2A$ и $O_2B$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны: $O_2A = O_2B$.

3. Отрезок $O_1O_2$, соединяющий центры окружностей, является общей стороной для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон в треугольниках $\triangle O_1AO_2$ и $\triangle O_1BO_2$:

• $O_1A = O_1B$
• $O_2A = O_2B$
• $O_1O_2$ — общая сторона

В равных треугольниках соответственные углы равны. Углы $\angle O_1AO_2$ и $\angle O_1BO_2$ лежат напротив общей стороны $O_1O_2$, поэтому они являются соответственными.

Ответ: Из равенства треугольников $\triangle O_1AO_2 \cong \triangle O_1BO_2$ следует равенство их соответственных углов, то есть $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$, что и требовалось доказать.