Номер 20.9, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.9. Расстояние между центрами двух окружностей равно $\text{d}$ и меньше разности $R_1 - R_2$ их радиусов ($R_1 > R_2$). Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы, причем по условию $R_1 > R_2$. Расстояние между центрами равно $d$, и задано, что $d < R_1 - R_2$.

Условие $d < R_1 - R_2$ можно переписать как $d + R_2 < R_1$. Геометрически это означает, что вторая (меньшая) окружность полностью расположена внутри первой (большей) окружности, и они не имеют общих точек (не пересекаются и не касаются).

Наименьшее и наибольшее расстояния между точками двух фигур всегда достигаются на отрезке, соединяющем эти точки, который является для них общим перпендикуляром. В случае двух окружностей, такие точки лежат на линии, проходящей через их центры $O_1$ и $O_2$.

Пусть $P_1$ — произвольная точка на окружности с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, а $P_2$ — произвольная точка на окружности с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. Мы ищем минимальное значение длины отрезка $|P_1P_2|$.

Рассмотрим любую точку $P_2$ на второй (внутренней) окружности. Расстояние от неё до центра первой окружности $O_1$ по неравенству треугольника для $\triangle O_1O_2P_2$ находится в пределах: $| |O_1O_2| - |O_2P_2| | \le |O_1P_2| \le |O_1O_2| + |O_2P_2|$, что дает $|d - R_2| \le |O_1P_2| \le d + R_2$.

Поскольку вторая окружность целиком находится внутри первой, расстояние от любой точки $P_2$ на ней до ближайшей точки $P_1$ на первой окружности будет равно разности $R_1 - |O_1P_2|$. Чтобы минимизировать это расстояние, необходимо максимизировать вычитаемое $|O_1P_2|$.

Максимальное значение расстояния $|O_1P_2|$ равно $d + R_2$. Оно достигается для точки $P_2$, лежащей на линии центров $O_1O_2$ по ту же сторону от $O_1$, что и $O_2$, и дальше от $O_1$.

Таким образом, наименьшее расстояние между точками двух окружностей составляет: $d_{min} = R_1 - \max(|O_1P_2|) = R_1 - (d + R_2) = R_1 - R_2 - d$.

Ответ: $R_1 - R_2 - d$

Теперь ищем максимальное значение расстояния $|P_1P_2|$. Для любой точки $P_2$ на второй окружности, самая удалённая от неё точка $P_1$ на первой окружности будет находиться на той же прямой, что $O_1$ и $P_2$, но по другую сторону от центра $O_1$. Расстояние в этом случае будет равно сумме $|O_1P_2| + R_1$.

Чтобы максимизировать расстояние $|P_1P_2|$, нам нужно максимизировать слагаемое $|O_1P_2|$. Как мы уже установили, максимальное значение $|O_1P_2|$ равно $d + R_2$.

Следовательно, наибольшее расстояние между точками двух окружностей равно: $d_{max} = \max(|O_1P_2|) + R_1 = (d + R_2) + R_1 = R_1 + R_2 + d$.

Это расстояние соответствует расстоянию между двумя точками, лежащими на линии центров на самых удалённых друг от друга концах окружностей.

Ответ: $R_1 + R_2 + d$