Номер 20.2, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.2. Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см от центра окружности. Найдите радиус окружности с центром в точке А и касающейся данной окружности:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

Обозначим центр данной окружности как $O$, а ее радиус как $r_1$. По условию задачи, $r_1 = 3$ см. Центром искомой окружности является точка $A$, а ее радиус обозначим как $r_2$. Расстояние от точки $A$ до центра $O$ данной окружности равно $d = 5$ см.

а) При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Формула для этого случая: $d = r_1 + r_2$. Подставим известные нам значения в формулу: $5 = 3 + r_2$. Решая это уравнение относительно $r_2$, получаем: $r_2 = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

б) При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Формула для этого случая: $d = |r_1 - r_2|$. Подставим известные значения: $5 = |3 - r_2|$. Это уравнение имеет два возможных решения: 1) $3 - r_2 = 5$. В этом случае $r_2 = 3 - 5 = -2$. Так как радиус не может быть отрицательной величиной, это решение не является верным. 2) $3 - r_2 = -5$. В этом случае $r_2 = 3 + 5 = 8$. Это значение является физически возможным. В этом случае искомая окружность с радиусом $r_2 = 8$ см будет больше данной окружности с радиусом $r_1 = 3$ см, и данная окружность будет касаться ее изнутри. Проверим: разность радиусов $r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5$ см, что равно расстоянию между центрами $d$.

Ответ: 8 см.