Номер 19.14, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.14. На рисунке 19.11 $\text{DA}$, $\text{DB}$, $\text{DC}$ — касательные. В каком отношении делит точка $\text{D}$ отрезок $\text{AB}$?

Рис. 19.11

В задаче даны две окружности, касающиеся в точке C. Прямая DC является общей касательной к обеим окружностям в точке их касания. Прямые DA и DB являются касательными к большей и меньшей окружностям соответственно, причем точки A, D и B лежат на одной прямой.

Рассмотрим большую окружность. Из точки D проведены две касательные к этой окружности: DA и DC. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, их отрезки от точки до точек касания равны.

Таким образом, для большей окружности справедливо равенство: $AD = DC$.

Теперь рассмотрим меньшую окружность. Из той же точки D проведены две касательные к этой окружности: DB и DC. Аналогично, по свойству касательных, проведенных из одной точки, их отрезки равны.

Таким образом, для меньшей окружности справедливо равенство: $DB = DC$.

Сопоставив оба равенства, получаем:

$AD = DC$

$DB = DC$

Отсюда следует, что $AD = DB$.

Это означает, что точка D делит отрезок AB на две равные части, то есть является его серединой. Отношение, в котором точка D делит отрезок AB, равно отношению длин отрезков AD и DB.

Искомое отношение: $AD:DB = 1:1$.

Ответ: $1:1$.