Номер 19.12, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.12. Докажите, что отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ общих внутренних касательных к двум окружностям (рис. 19.9) равны.

Рис. 19.9

19.12. Пусть даны две окружности и две общие внутренние касательные к ним. Обозначим точку пересечения этих касательных буквой P.

Согласно обозначениям на рисунке, одна касательная касается левой окружности в точке A и правой окружности в точке D. Вторая касательная касается левой окружности в точке C и правой окружности в точке B. Требуется доказать, что отрезок AB равен отрезку CD.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Применим это свойство к левой окружности и точке P. Точки касания — A и C. Следовательно, длины отрезков PA и PC равны:

$PA = PC$

Теперь применим это свойство к правой окружности и точке P. Точки касания — B и D. Следовательно, длины отрезков PB и PD равны:

$PB = PD$

Рассмотрим треугольники $\triangle PAB$ и $\triangle PCD$.

Углы $\angle APB$ и $\angle CPD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых AD и CB. Следовательно, эти углы равны:

$\angle APB = \angle CPD$

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle PAB$ и $\triangle PCD$. Мы установили, что у них равны две пары сторон и угол между ними:

1. $PA = PC$ (по свойству касательных)

2. $PB = PD$ (по свойству касательных)

3. $\angle APB = \angle CPD$ (как вертикальные углы)

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle PAB$ равен треугольнику $\triangle PCD$.

$\triangle PAB \cong \triangle PCD$

Из равенства (конгруэнтности) треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов. Сторона AB лежит напротив угла $\angle APB$, а сторона CD — напротив угла $\angle CPD$. Так как $\triangle PAB \cong \triangle PCD$ и $\angle APB = \angle CPD$, то и противолежащие им стороны равны.

$AB = CD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отрезки $AB$ и $CD$ равны. Это следует из равенства треугольников $\triangle PAB$ и $\triangle PCD$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).