Номер 19.11, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.11. Найдите длину отрезка $\text{AB}$ касательной (рис. 19.8). Стороны клеток равны 1.

Рис. 19.8

а) Для нахождения длины отрезка $AB$ введем декартову систему координат. Примем за начало координат левый нижний узел сетки на рисунке, а за единицу измерения — сторону одной клетки.

Из рисунка определяем координаты центра окружности $O$ и точки $A$. Центр окружности $O$ находится в точке с координатами $(2, 2)$. Радиус окружности $R$ равен 2, так как окружность проходит через точки $(0, 2)$, $(4, 2)$, $(2, 0)$ и $(2, 4)$, расстояние от которых до центра $(2, 2)$ равно 2. Точка $A$ находится в узле сетки с координатами $(5, 4)$.

Прямая $AB$ является касательной к окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус $OB$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что треугольник $OBA$ является прямоугольным, где $\angle OBA = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $OBA$: $OA^2 = OB^2 + AB^2$. Отсюда длину отрезка $AB$ можно найти по формуле: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2}$.

Найдем расстояние $OA$ между точками $O(2, 2)$ и $A(5, 4)$ по формуле расстояния между двумя точками: $OA = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Длина радиуса $OB$ равна $R=2$. Подставим найденные значения в формулу для $AB$: $AB = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3

б) Решение для этого пункта аналогично предыдущему. Введем систему координат с началом в левом нижнем узле сетки.

Определим координаты из рисунка: Центр окружности $O$ находится в точке с координатами $(1, 1)$. Радиус окружности $R$ равен 1. Точка $A$ находится в узле сетки с координатами $(5, 1)$.

Треугольник $OBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Длину отрезка $AB$ найдем по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2}$.

Найдем расстояние $OA$ между точками $O(1, 1)$ и $A(5, 1)$. Так как эти точки лежат на одной горизонтальной линии ($y=1$), расстояние между ними равно модулю разности их абсцисс: $OA = |5 - 1| = 4$.

Длина радиуса $OB$ равна $R=1$. Теперь вычислим длину отрезка $AB$: $AB = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$.

Ответ: $\sqrt{15}$