Номер 19.4, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.4. Сколько можно провести окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой в данной точке?

19.4. Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательной к окружности. Пусть у нас есть прямая $l$, точка касания $M$ на этой прямой и заданный радиус $R > 0$.

1. Согласно основному свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это значит, что центр любой окружности, касающейся прямой $l$ в точке $M$, должен лежать на прямой $n$, которая перпендикулярна прямой $l$ и проходит через точку $M$.

2. Расстояние от центра окружности $O$ до точки касания $M$ равно радиусу окружности. В нашем случае, $OM = R$.

3. Таким образом, нам нужно найти на прямой $n$ такие точки $O$, которые находятся на расстоянии $R$ от точки $M$. На любой прямой от данной точки можно отложить заданное расстояние в двух противоположных направлениях.

Следовательно, на прямой $n$ существуют ровно две точки, удовлетворяющие условию $OM = R$. Одна точка, $O_1$, будет находиться по одну сторону от прямой $l$, а вторая, $O_2$, — по другую. Каждая из этих точек может быть центром окружности заданного радиуса $R$, касающейся прямой $l$ в точке $M$.

Таким образом, можно провести ровно две такие окружности.

Ответ: две.