Новые знания, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Как расположены относительно друг друга эти прямая и окружность?

Рис. 19.1

Изобразите прямую и отметьте точку $\text{O}$, расположенную на расстоянии 4 см от этой прямой. С помощью циркуля с центром в точке $\text{O}$ проведите окружность радиусом 4 см.

Как расположены относительно друг друга эти прямая и окружность?

Рис. 19.2

Рис. 19.3

Как расположены относительно друг друга эти прямая и окружность?

а) На рисунке 19.1 а) прямая и окружность не имеют общих точек. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой, обозначенное как $d$, больше радиуса окружности $r$. Математически это условие записывается как $d > r$.

Ответ: прямая и окружность не пересекаются.

б) На рисунке 19.1 б) прямая и окружность имеют одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности. Такое расположение возникает, когда расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу: $d = r$.

Ответ: прямая и окружность касаются в одной точке.

в) На рисунке 19.1 в) прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса: $d < r$.

Ответ: прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Согласно условию, расстояние от центра окружности, точки $O$, до прямой составляет $d = 4$ см. Радиус окружности, проведенной из того же центра $O$, равен $r = 4$ см. Поскольку расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности ($d = r$), прямая и окружность имеют ровно одну общую точку.

Ответ: прямая и окружность касаются (имеют одну общую точку).

Взаимное расположение прямой и окружности определяется соотношением между радиусом окружности $r$ и расстоянием $d$ от ее центра до прямой. Рисунки 19.2 и 19.3 иллюстрируют два из трех возможных случаев. В обоих случаях отрезок $OA$ является перпендикуляром, опущенным из центра $O$ на прямую $a$, и его длина равна расстоянию $d$.

На Рис. 19.2 прямая пересекает окружность в двух точках, то есть является секущей. Это означает, что радиус окружности $r$ больше, чем расстояние $d$ ($r > d$). Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике $OAB$ гипотенуза $OB$ (которая была бы радиусом, если бы точка $B$ лежала на окружности) длиннее катета $OA$.

На Рис. 19.3 прямая имеет с окружностью только одну общую точку $A$, то есть является касательной. Это происходит, когда радиус окружности равен расстоянию от центра до прямой ($r = d$). Точка касания $A$ является основанием перпендикуляра, опущенного из центра на прямую. Любая другая точка на прямой удалена от центра на расстояние, большее радиуса.

Ответ: на Рис. 19.2 прямая и окружность пересекаются (прямая является секущей), а на Рис. 19.3 — касаются (прямая является касательной).