Номер 18.18, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.18. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 20 см и 4 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть $R$ — радиус окружности, $O$ — её центр, а $P$ — данная точка внутри окружности. Пусть расстояние от центра до точки $P$ равно $d$, то есть $OP = d$.

Наибольшее и наименьшее расстояния от точки, расположенной внутри окружности, до самой окружности находятся на прямой, проходящей через центр окружности и эту точку.

Наименьшее расстояние — это расстояние до ближайшей точки на окружности. Оно равно разности радиуса и расстояния от центра до данной точки:

$d_{min} = R - d$

Наибольшее расстояние — это расстояние до самой дальней точки на окружности. Оно равно сумме радиуса и расстояния от центра до данной точки:

$d_{max} = R + d$

По условию задачи, нам даны эти расстояния:

$d_{max} = 20$ см

$d_{min} = 4$ см

Мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $R$ и $d$:

$\begin{cases} R + d = 20 \\ R - d = 4 \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, сложим оба уравнения:

$(R + d) + (R - d) = 20 + 4$

$2R = 24$

Теперь мы можем найти радиус $R$:

$R = \frac{24}{2} = 12$ см

Таким образом, радиус данной окружности составляет 12 см. Мы также можем найти расстояние $d$ от центра до точки, подставив $R$ в одно из уравнений:

$12 + d = 20 \Rightarrow d = 20 - 12 = 8$ см.

Ответ: 12 см.