Номер 18.19, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.19. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к этой хорде.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, которая не является диаметром. Обозначим через $M$ середину хорды $AB$, так что $AM = MB$.

Проведем диаметр через точку $M$. Назовем его $CD$. Так как $O$ является центром окружности, он лежит на любом диаметре, следовательно, точки $O$ и $M$ лежат на прямой, содержащей диаметр $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный соединением центра $O$ с концами хорды $A$ и $B$.

Поскольку $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности, они равны: $OA = OB$. Это значит, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Так как хорда $AB$ не является диаметром, точка $O$ не лежит на отрезке $AB$, и треугольник $\triangle AOB$ невырожденный.

Отрезок $OM$ соединяет вершину равнобедренного треугольника ($O$) с серединой его основания ($M$). Следовательно, $OM$ является медианой треугольника $\triangle AOB$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, также является и высотой. Значит, $OM$ перпендикулярен $AB$, то есть $OM \perp AB$.

Поскольку отрезок $OM$ лежит на прямой, содержащей диаметр $CD$, то и весь диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$.

Таким образом, мы доказали, что диаметр, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.