Номер 18.17, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.17. Точка $\text{A}$ расположена внутри окружности радиуса $\text{R}$ и удалена от центра $\text{O}$ этой окружности на расстояние $\text{d}$ (рис. 18.13). Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $\text{A}$ до точек данной окружности?

Рис. 18.13

Пусть O — центр окружности, R — ее радиус. Точка A расположена внутри окружности на расстоянии $d$ от центра O, то есть $OA = d$. Так как точка A находится внутри окружности, то $d < R$. Пусть M — произвольная точка на окружности. Тогда расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OM = R$. Мы ищем наименьшее и наибольшее значения расстояния AM.

Рассмотрим треугольник OAM. По неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Для стороны AM это можно записать в виде двойного неравенства:

$|OM - OA| \le AM \le OM + OA$

Подставив известные значения $OA = d$ и $OM = R$, получим:

$|R - d| \le AM \le R + d$

Поскольку точка A находится внутри окружности, расстояние от нее до центра меньше радиуса ($d < R$), то разность $R - d$ является положительным числом. Следовательно, знак модуля можно опустить:

$R - d \le AM \le R + d$

Это неравенство показывает, что расстояние от точки A до любой точки M на окружности заключено между значениями $R - d$ и $R + d$. Эти крайние (минимальное и максимальное) значения достигаются, когда точки O, A и M лежат на одной прямой, то есть в точках пересечения окружности с прямой, проходящей через центр O и точку A.

Наименьшее расстояние

Наименьшее расстояние будет до той точки пересечения ($M_1$), которая лежит на луче OA. В этом случае расстояние $AM_1$ равно разности радиуса окружности и расстояния от центра до точки A.

$AM_1 = OM_1 - OA = R - d$.

Ответ: наименьшее расстояние равно $R - d$.

Наибольшее расстояние

Наибольшее расстояние будет до той точки пересечения ($M_2$), для которой центр O лежит между точками A и $M_2$. В этом случае расстояние $AM_2$ равно сумме расстояния от точки A до центра и радиуса окружности.

$AM_2 = AO + OM_2 = d + R$.

Ответ: наибольшее расстояние равно $R + d$.