Номер 18.11, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. На клетчатой бумаге изобразите центры окружностей, проходящие через две данные точки и находящиеся в узлах сетки (рис. 18.9).

Рис. 18.9

а) Центр окружности, проходящей через две точки, должен быть равноудален от этих точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Нам нужно найти те точки на этом перпендикуляре, которые являются узлами сетки.

Введем систему координат, где одна клетка соответствует единице. Пусть левый нижний узел видимой сетки имеет координаты (0, 0). Тогда точка A имеет координаты (1, 2), а точка B — (4, 2).

Отрезок AB является горизонтальным. Его длина равна $4 - 1 = 3$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку — это вертикальная прямая, проходящая через его середину. Координата x середины отрезка AB равна $\frac{1+4}{2} = 2.5$.

Таким образом, все центры искомых окружностей должны лежать на прямой $x = 2.5$.

По условию, центры окружностей должны находиться в узлах сетки, то есть их координаты должны быть целыми числами. Однако, на прямой $x = 2.5$ нет ни одной точки с целой координатой $x$. Следовательно, ни один узел сетки не может быть центром окружности, проходящей через данные точки A и B.

Можно прийти к тому же выводу алгебраически. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x, y)$, где $x, y$ — целые числа. Расстояние в квадрате от $C$ до A и до B должно быть одинаковым: $CA^2 = CB^2$.

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-4)^2 + (y-2)^2$

$(x-1)^2 = (x-4)^2$

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 8x + 16$

$6x = 15$

$x = 2.5$

Поскольку $x=2.5$ не является целым числом, не существует узла сетки, удовлетворяющего этому условию.

Ответ: Таких центров не существует.

б) Аналогично пункту а), найдем серединный перпендикуляр к отрезку AB. Введем систему координат, где левый нижний узел видимой сетки имеет координаты (0, 0). Тогда точка A имеет координаты (1, 4), а точка B — (3, 2).

Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x, y)$, где $x, y$ — целые числа. Расстояние в квадрате от $C$ до A и до B должно быть одинаковым: $CA^2 = CB^2$.

$(x-1)^2 + (y-4)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x - 8y + 17 = -6x - 4y + 13$

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

$6x - 2x - 8y + 4y = 13 - 17$

$4x - 4y = -4$

Разделим обе части на 4:

$x - y = -1$, или $y = x + 1$.

Это уравнение прямой, которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Все узлы сетки, лежащие на этой прямой, являются искомыми центрами окружностей.

Например, на показанном фрагменте сетки это точки с координатами (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5). Середина отрезка AB, точка $(\frac{1+3}{2}, \frac{4+2}{2}) = (2, 3)$, также является одним из таких центров.

Ответ: Искомые центры — это все узлы сетки, лежащие на прямой, которая задается уравнением $y = x + 1$ в системе координат, где A=(1, 4) и B=(3, 2). На рисунке эти точки отмечены синим цветом.