Номер 18.10, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.10. Расстояние между точками А и В равно 2 см. Найдите наи-меньший возможный радиус окружности, проходящий через эти точки.

18.10. Пусть даны точки $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $2$ см. Отрезок $AB$ будет являться хордой для любой окружности, проходящей через эти точки.

Пусть $R$ — радиус окружности, а $O$ — её центр. Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности, то $OA = OB = R$. Это означает, что центр окружности $O$ равноудалён от точек $A$ и $B$ и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см. Отрезок $OM$ является перпендикуляром к хорде $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставляя известные значения, получаем выражение для радиуса $R = OA$:

$R^2 = OM^2 + 1^2$

Чтобы найти наименьший возможный радиус $R$, нам нужно найти наименьшее возможное значение для $R^2$. Правая часть уравнения $OM^2 + 1$ будет минимальной, когда $OM^2$ будет минимальным. Поскольку $OM$ — это расстояние, его наименьшее значение равно 0. Это достигается, когда точка $O$ (центр окружности) совпадает с точкой $M$ (серединой отрезка $AB$).

В этом случае отрезок $AB$ является диаметром окружности, а её радиус равен половине длины этого отрезка.

$R_{min} = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.