Номер 18.16, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.16. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть $R$ — искомый радиус окружности, а $d$ — расстояние от данной точки, расположенной вне окружности, до ее центра. Геометрически, точки на окружности, которые находятся на наибольшем и наименьшем расстоянии от внешней точки, лежат на прямой, проходящей через эту внешнюю точку и центр окружности.

Наибольшее расстояние ($d_{max}$) равно сумме расстояния до центра и радиуса, а наименьшее расстояние ($d_{min}$) — их разности. По условию задачи, $d_{max} = 50$ см и $d_{min} = 20$ см. Это позволяет составить систему из двух уравнений:

$$ \begin{cases} d + R = 50 \\ d - R = 20 \end{cases} $$

Для нахождения радиуса $R$ вычтем второе уравнение из первого:

$(d + R) - (d - R) = 50 - 20$

$d + R - d + R = 30$

$2R = 30$

Отсюда получаем значение радиуса:

$R = \frac{30}{2} = 15$ см.

Ответ: 15 см.