Номер 18.13, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.13. На клетчатой бумаге изобразите центр $\text{O}$ окружности, прохо-дящий через данные точки $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ (рис. 18.10).

Рис. 18.10

Для того чтобы найти центр O окружности, проходящей через точки A, B, C и D, необходимо найти точку, равноудаленную от всех этих четырех точек. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр окружности O является точкой пересечения серединных перпендикуляров к хордам, образованным данными точками (например, к хордам AB и AD).

Введем на клетчатой бумаге систему координат, приняв за единицу длины сторону одной клетки. Расположим начало координат так, чтобы точка A имела координаты (1, 1). Исходя из расположения точек на рисунке, их координаты будут следующими: A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3) и D(1, 3).

Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB. Отрезок AB соединяет точки A(1, 1) и B(4, 1), он является горизонтальным. Его середина находится в точке с координатой x, равной среднему арифметическому координат x точек A и B: $x = \frac{1 + 4}{2} = 2.5$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку является вертикальной прямой, проходящей через его середину. Таким образом, уравнение первого серединного перпендикуляра — $x = 2.5$.

Теперь построим серединный перпендикуляр к отрезку AD. Отрезок AD соединяет точки A(1, 1) и D(1, 3), он является вертикальным. Его середина находится в точке с координатой y, равной среднему арифметическому координат y точек A и D: $y = \frac{1 + 3}{2} = 2$. Серединный перпендикуляр к вертикальному отрезку является горизонтальной прямой, проходящей через его середину. Уравнение второго серединного перпендикуляра — $y = 2$.

Центр окружности O — это точка пересечения этих двух перпендикуляров. Координаты точки O являются решением системы уравнений: $ \begin{cases} x = 2.5 \\ y = 2 \end{cases} $ Следовательно, центр O имеет координаты (2.5, 2).

Также можно заметить, что данные точки A, B, C и D образуют прямоугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольника, находится в точке пересечения его диагоналей, что совпадает с его геометрическим центром. Координаты центра можно найти как середину диагонали, например AC: $O = (\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}) = (\frac{1+4}{2}, \frac{1+3}{2}) = (2.5, 2)$.

Чтобы изобразить центр O на клетчатой бумаге, нужно найти точку, которая находится на горизонтальной линии, проходящей ровно посередине между точками A и D (или B и C), и на вертикальной линии, проходящей ровно посередине между точками A и B (или D и C).

Ответ: Центр O окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам прямоугольника ABCD. В системе координат, где A(1,1), B(4,1), C(4,3) и D(1,3), точка O имеет координаты (2.5, 2).