Номер 18.15, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.15. Точка $\text{A}$ расположена вне окружности радиуса $\text{R}$ и удалена от центра $\text{O}$ этой окружности на расстояние $\text{d}$ (рис. 18.12). Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $\text{A}$ до точек данной окружности?

Рис. 18.12

Пусть $P$ — произвольная точка на окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно $d$. По условию, точка $A$ расположена вне окружности, следовательно, $d > R$. Мы ищем наименьшее и наибольшее значения расстояния $AP$.

Рассмотрим треугольник $OAP$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может превышать сумму длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Для стороны $AP$ это записывается так:

$|OA - OP| \le AP \le OA + OP$

Подставив известные значения $OA = d$ и $OP = R$ (поскольку $P$ — точка на окружности), и учитывая, что $d > R$, получаем:

$d - R \le AP \le d + R$

Это двойное неравенство показывает, что расстояние от точки $A$ до любой точки $P$ на окружности заключено между значениями $d - R$ и $d + R$. Эти крайние значения достигаются, когда точки $A$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.

Наименьшее расстояние

Наименьшее расстояние, равное $d - R$, достигается, когда точка $P$ лежит на отрезке $OA$. Геометрически это точка пересечения окружности с прямой, соединяющей центр $O$ и точку $A$, которая находится ближе к $A$.

Ответ: $d - R$.

Наибольшее расстояние

Наибольшее расстояние, равное $d + R$, достигается, когда центр окружности $O$ лежит на отрезке $AP$. Геометрически это точка пересечения окружности с прямой, проходящей через $O$ и $A$, которая находится дальше от $A$.

Ответ: $d + R$.