Номер 18.21, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.21. Докажите, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра окружности (рис. 18.15).

Рис. 18.15

18.21. Пусть в окружности с центром в точке $O$ проведены две равные хорды $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Проведем перпендикуляры $OM$ к хорде $AB$ и $ON$ к хорде $CD$. Требуется доказать, что $OM = ON$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$.

По построению $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$, следовательно, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$ являются прямоугольными.

Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OC$. В прямоугольных треугольниках $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$ эти отрезки являются гипотенузами.

Согласно свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $M$ — середина хорды $AB$, а точка $N$ — середина хорды $CD$. Отсюда имеем: $AM = \frac{1}{2}AB$ и $CN = \frac{1}{2}CD$.

По условию задачи хорды равны: $AB = CD$. Из этого следует, что равны и их половины: $AM = CN$. В рассматриваемых треугольниках отрезки $AM$ и $CN$ являются катетами.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$ равны по гипотенузе и катету (поскольку гипотенуза $OA$ равна гипотенузе $OC$, а катет $AM$ равен катету $CN$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, катет $OM$ треугольника $\triangle OAM$ равен катету $ON$ треугольника $\triangle OCN$. То есть, $OM = ON$.

Это доказывает, что равные хорды окружности одинаково удалены от ее центра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.