Номер 18.20, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.20. Используя рисунок 18.14, докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружности.

Рис. 18.14

18.20. Рассмотрим произвольную хорду AB в окружности с центром в точке O и радиусом r. Соединим концы хорды, точки A и B, с центром окружности O, как показано на рисунке. В результате мы получим треугольник AOB.

Сторонами этого треугольника являются отрезки OA, OB и AB. Отрезки OA и OB являются радиусами окружности, поэтому их длины равны r: $OA = OB = r$. Отрезок AB является рассматриваемой хордой.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой его стороны не может превышать сумму длин двух других сторон. Применительно к стороне AB треугольника AOB это неравенство записывается так:

$AB \le OA + OB$

Подставим известные длины сторон OA и OB:

$AB \le r + r$

$AB \le 2r$

По определению, диаметр окружности d равен двум радиусам: $d = 2r$. Таким образом, мы получаем, что длина любой хорды AB меньше или равна длине диаметра:

$AB \le d$

Это означает, что ни одна хорда не может быть длиннее диаметра.

Рассмотрим случай, когда достигается равенство: $AB = 2r = d$. В неравенстве треугольника $AB = OA + OB$ равенство возможно только тогда, когда точка O лежит на отрезке AB. Это означает, что хорда AB проходит через центр окружности, то есть, по определению, является диаметром.

Если же хорда AB не проходит через центр O, то точки A, O, B образуют невырожденный треугольник, и для него выполняется строгое неравенство: $AB < OA + OB$, или $AB < 2r$.

Следовательно, любая хорда, не являющаяся диаметром, строго короче диаметра. Таким образом, диаметр является наибольшей хордой окружности.

Ответ: Доказано, что диаметр является наибольшей хордой окружности.