Номер 18.22, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.22. Докажите, что хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны (рис. 18.15).

Рис. 18.15

18.22. Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и две хорды $AB$ и $CD$. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OM$ к хорде $AB$ и $ON$ к хорде $CD$. Таким образом, по определению, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

По условию задачи, хорды одинаково удалены от центра окружности. Это означает, что длины перпендикуляров $OM$ и $ON$ равны, то есть $OM = ON$.

Требуется доказать, что длины хорд равны: $AB = CD$.

Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$.

В этих треугольниках:

1. Гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как являются радиусами одной и той же окружности ($OA = OC$).

2. Катеты $OM$ и $ON$ равны по условию ($OM = ON$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $AM$ и $CN$: $AM = CN$.

Согласно свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Таким образом, точка $M$ — середина хорды $AB$, а точка $N$ — середина хорды $CD$. Отсюда следует, что длина всей хорды в два раза больше длины ее половины:

$AB = 2 \cdot AM$

$CD = 2 \cdot CN$

Поскольку мы доказали, что $AM = CN$, то, умножив обе части этого равенства на 2, получим $2 \cdot AM = 2 \cdot CN$.

Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны.