Номер 19.2, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.2. Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную:

а) внутри окружности;

б) вне окружности;

в) на окружности?

а) Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Расстояние от центра окружности до касательной должно быть равно ее радиусу. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Если точка $M$ расположена внутри окружности, то расстояние от центра до этой точки меньше радиуса: $OM < R$. Любая прямая, проходящая через точку $M$, будет пересекать окружность в двух точках, так как расстояние от центра $O$ до этой прямой будет меньше радиуса $R$. Такая прямая называется секущей. Следовательно, провести касательную через точку, лежащую внутри окружности, невозможно.

Ответ: 0.

б) Пусть точка $M$ расположена вне окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Это означает, что расстояние $OM > R$. В этом случае можно провести ровно две касательные. Чтобы их найти, можно построить окружность, для которой отрезок $OM$ является диаметром. Эта вспомогательная окружность пересечет исходную окружность в двух точках, $T_1$ и $T_2$. Прямые $MT_1$ и $MT_2$ и будут искомыми касательными. Это следует из того, что углы $\angle OT_1M$ и $\angle OT_2M$ опираются на диаметр $OM$ вспомогательной окружности, а значит, они прямые. Так как прямые $MT_1$ и $MT_2$ перпендикулярны радиусам $OT_1$ и $OT_2$ в точках $T_1$ и $T_2$, лежащих на исходной окружности, то по определению они являются касательными.

Ответ: 2.

в) Пусть точка $M$ расположена на окружности с центром $O$ и радиусом $R$. В этом случае расстояние $OM = R$. Через точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную. Эта касательная является прямой, перпендикулярной радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, через точку $M$ проходит единственная прямая, перпендикулярная радиусу $OM$. Любая другая прямая, проходящая через точку $M$, пересечет окружность в еще одной точке и будет являться секущей.

Ответ: 1.