Номер 19.5, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.5. Какой угол образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания?

Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Докажем это утверждение.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и прямая $a$, которая касается окружности в точке $A$. Радиус, проведенный в точку касания, — это отрезок $OA$. Нам нужно найти угол между $OA$ и прямой $a$.

Предположим обратное: что радиус $OA$ не перпендикулярен касательной $a$. В таком случае, перпендикуляр, опущенный из центра окружности $O$ на прямую $a$, будет пересекать ее в какой-то другой точке $H$. Получается треугольник $OAH$, в котором угол $\angle OHA = 90^\circ$.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. В треугольнике $OAH$ гипотенузой является сторона $OA$ (так как она лежит напротив прямого угла). Следовательно, катет $OH$ короче гипотенузы $OA$:

$OH < OA$

Поскольку $OA$ — это радиус окружности (обозначим его $R$), то $OA = R$. Тогда из неравенства выше следует, что $OH < R$.

Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до точки $H$ на прямой $a$ меньше радиуса. Следовательно, точка $H$ находится внутри окружности. Но если прямая $a$ проходит через точку $H$, находящуюся внутри окружности, то она должна пересекать окружность в двух точках (то есть быть секущей). Это противоречит определению касательной, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания $A$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, радиус $OA$ и есть перпендикуляр к касательной $a$.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.