Номер 19.7, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.7. На клетчатой бумаге через точку $\text{A}$ проведите касательную к данной окружности (рис. 19.5).

Рис. 19.5

а) Чтобы провести касательную к окружности в точке A, нужно использовать свойство, согласно которому касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

1. Сначала определим центр окружности O. Примем сторону одной клетки за единицу. Наложим на рисунок систему координат так, чтобы левый нижний узел сетки 4x4 имел координаты (0, 0). Тогда точка A будет иметь координаты (1, 3). Визуально центр окружности O находится в точке с координатами (2, 2).
2. Рассмотрим радиус OA, который соединяет центр O(2, 2) и точку касания A(1, 3). Чтобы из точки O попасть в точку A, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 1 клетку вверх.
3. Касательная должна быть перпендикулярна радиусу OA. Если направление радиуса задается смещением "1 влево, 1 вверх", то перпендикулярное ему направление на клетчатой бумаге будет задаваться смещением "1 вправо, 1 вверх" (или "1 влево, 1 вниз").
4. Проведем через точку A прямую, которая соответствует этому перпендикулярному направлению. Эта прямая и будет искомой касательной. Она будет проходить через узлы сетки по диагонали.

Математическое обоснование: найдем угловой коэффициент радиуса OA. $k_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{3-2}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1$. Угловой коэффициент касательной, $k_{кас}$, должен удовлетворять условию перпендикулярности прямых: $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$. Отсюда $k_{кас} = \frac{-1}{k_{OA}} = \frac{-1}{-1} = 1$. Угловой коэффициент, равный 1, означает, что прямая на каждую единицу смещения вправо смещается на одну единицу вверх.

Ответ: Касательная — это прямая, проходящая через точку A, которая на каждую клетку вправо поднимается на одну клетку вверх.

б) Построение выполняется аналогично предыдущему пункту на основе перпендикулярности радиуса и касательной.

1. Определим координаты центра и точки касания на сетке 5x5. Пусть левый нижний узел сетки имеет координаты (0, 0). Тогда точка A имеет координаты (1, 4), а центр окружности O, как видно из рисунка, находится в точке (3, 2).
2. Радиус OA соединяет точки O(3, 2) и A(1, 4). Чтобы из центра O попасть в точку A, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 2 клетки вверх.
3. Направление радиуса OA — "2 влево, 2 вверх", что эквивалентно направлению "1 влево, 1 вверх". Как и в предыдущем случае, перпендикулярное направление на сетке будет "1 вправо, 1 вверх".
4. Следовательно, касательная — это прямая, которая проходит через точку A и на каждую клетку смещения вправо смещается на одну клетку вверх.

Математическое обоснование: угловой коэффициент радиуса OA равен: $k_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{4-2}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1$. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ находится из условия перпендикулярности $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$. $k_{кас} = \frac{-1}{-1} = 1$. Это подтверждает, что касательная имеет наклон, при котором смещение на 1 клетку вправо соответствует смещению на 1 клетку вверх.

Ответ: Касательная — это прямая, проходящая через точку A, которая на каждую клетку вправо поднимается на одну клетку вверх.