Номер 19.3, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.3. Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой в данной точке?

19.3. Рассмотрим данную прямую $a$ и данную точку $M$ на этой прямой.

По определению, прямая является касательной к окружности, если они имеют только одну общую точку. Свойство касательной гласит, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Следовательно, центр $O$ любой окружности, которая касается прямой $a$ в точке $M$, должен лежать на прямой $b$, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $a$.

Прямая $b$ является геометрическим местом центров всех возможных окружностей, удовлетворяющих условию. Любая точка на прямой $b$ (кроме самой точки $M$, которая дала бы окружность с нулевым радиусом) может быть центром такой окружности.

Поскольку прямая $b$ бесконечна, на ней можно выбрать бесконечно много точек, которые могут служить центрами искомых окружностей. Для каждой такой точки $O$ на прямой $b$ ($O \ne M$), мы получаем окружность с центром $O$ и радиусом $R = OM$, которая касается прямой $a$ в точке $M$.

Таким образом, можно провести бесконечно много окружностей, касающихся данной прямой в данной точке.

Ответ: Бесконечно много.