Номер 19.8, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.8. На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные к данной окружности (рис. 19.6).

Рис. 19.6

Для построения касательных к окружности из точки, лежащей вне этой окружности, используется следующий общий геометрический метод:

1. Обозначим центр данной окружности как $O$, а данную точку как $A$.
2. Соединим точки $O$ и $A$ отрезком $OA$.
3. Найдем середину $M$ отрезка $OA$.
4. Построим вторую окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине отрезка $MA$ (или $MO$).
5. Точки пересечения этой новой окружности с исходной окружностью являются точками касания. Обозначим их $T_1$ и $T_2$.
6. Прямые $AT_1$ и $AT_2$ являются искомыми касательными.

В задачах на клетчатой бумаге часто можно найти решение, используя свойства координатной сетки, например, находя прямые с простыми рациональными наклонами.

а) Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону одной клетки. Пусть центр окружности $O$ находится в точке с координатами $(2.5, 2.5)$. Из рисунка видно, что радиус окружности $r$ равен $1.5$ единицы (окружность проходит через точки $(1, 2.5)$ и $(4, 2.5)$, расстояние между которыми равно $3$). Точка $A$ имеет координаты $(4, 3.5)$.

Найдем первую касательную. Рассмотрим вертикальную прямую, проходящую через точку $A$, ее уравнение $x=4$. Найдем точку пересечения этой прямой с окружностью. Одна из таких точек - $T_1(4, 2.5)$. Проверим, лежит ли $T_1$ на окружности: $(4 - 2.5)^2 + (2.5 - 2.5)^2 = 1.5^2 + 0^2 = 2.25$. Радиус в квадрате $r^2 = 1.5^2 = 2.25$. Точка $T_1$ лежит на окружности.

Вектор-радиус в эту точку, $\vec{OT_1}$, имеет координаты $(4-2.5, 2.5-2.5)=(1.5, 0)$ и является горизонтальным. Прямая $AT_1$ является вертикальной. Так как горизонтальная и вертикальная прямые перпендикулярны, радиус $OT_1$ перпендикулярен прямой $AT_1$ в точке на окружности, следовательно, прямая $AT_1$ (то есть $x=4$) — касательная.

Для нахождения второй касательной воспользуемся свойством, что квадрат длины отрезка касательной от точки $A$ до точки касания $T$ равен $L^2 = OA^2 - r^2$.

Расстояние $OA$ в квадрате: $OA^2 = (4 - 2.5)^2 + (3.5 - 2.5)^2 = 1.5^2 + 1^2 = 2.25 + 1 = 3.25$.

Длина отрезка касательной в квадрате: $L^2 = 3.25 - 1.5^2 = 3.25 - 2.25 = 1$. Отсюда $L=1$.

Вторая точка касания $T_2(x, y)$ находится на пересечении исходной окружности и окружности с центром в $A$ и радиусом $L=1$. Решение этой системы уравнений показывает, что вторая касательная, проходящая через точку $A(4, 3.5)$, имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равный $-\frac{5}{12}$.

Чтобы построить эту прямую на клетчатой бумаге, нужно из точки $A$ отложить 12 клеток влево и 5 клеток вверх (или 12 вправо и 5 вниз) и соединить полученную точку с точкой $A$.

Ответ: Одна касательная — вертикальная прямая, проходящая через точку $A$. Вторая касательная — прямая, проходящая через точку $A$, для построения которой нужно отступить от $A$ на 12 клеток в одну сторону по горизонтали и на 5 клеток в противоположную сторону по вертикали.

б) Аналогично введем систему координат. Центр окружности $O$ находится в точке $(2.5, 2)$. Радиус окружности $r=2$ (окружность проходит через точки $(0.5, 2)$ и $(4.5, 2)$, расстояние между которыми $4$). Точка $A$ имеет координаты $(2, 5)$.

В этом случае точный расчет координат точек касания приводит к иррациональным числам, которые сложно отложить на клетчатой бумаге. Однако, в таких задачах часто подразумевается, что касательные можно построить, используя прямые с "простыми" рациональными угловыми коэффициентами (отношение целых чисел).

Можно показать, что прямые, проходящие через точку $A(2, 5)$ и имеющие угловые коэффициенты $k_1 = \frac{8}{5}$ и $k_2 = -\frac{4}{5}$, являются очень хорошим приближением к настоящим касательным. Расстояние от центра окружности до этих прямых почти точно равно радиусу.

Поэтому для построения касательных на сетке:

1. Для первой касательной: из точки $A$ отложите 5 клеток вправо и 8 клеток вверх. Соедините полученную точку с точкой $A$.
2. Для второй касательной: из точки $A$ отложите 5 клеток вправо и 4 клетки вниз. Соедините полученную точку с точкой $A$.

Эти прямые и будут искомыми касательными.

Ответ: Одна касательная проходит через точку $A$ и точку, полученную смещением из $A$ на 5 клеток вправо и 8 клеток вверх. Вторая касательная проходит через точку $A$ и точку, полученную смещением из $A$ на 5 клеток вправо и 4 клетки вниз.