Номер 19.15, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.15. Через точку $\text{M}$ вне окружности проведены касательные $\text{MA}$ и $\text{MB}$, и через точку $\text{C}$ на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки $\text{MA}$ и $\text{MB}$ в точках $\text{K}$ и $\text{L}$ соответственно (рис. 19.12). Докажите, что периметр треугольника $KLM$ не зависит от положения точки $\text{C}$.

Рис. 19.12

Обозначим периметр треугольника KLM как $P_{KLM}$. По определению, периметр равен сумме длин его сторон: $P_{KLM} = MK + ML + KL$.

Поскольку прямая KL касается окружности в точке C, точка C лежит на отрезке KL. Следовательно, длину стороны KL можно представить в виде суммы длин отрезков $KC$ и $CL$: $KL = KC + CL$.

Подставив это выражение в формулу для периметра, получим: $P_{KLM} = MK + ML + KC + CL$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной внешней точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Рассмотрим точку K. Она является точкой пересечения двух прямых, касающихся окружности: прямой MA (касается в точке A) и прямой KL (касается в точке C). Таким образом, K — это внешняя точка, из которой к окружности проведены две касательные. По свойству касательных, длины отрезков от точки K до точек касания A и C равны: $KA = KC$.

Аналогично рассмотрим точку L. Она является точкой пересечения двух касательных к окружности: прямой MB (касается в точке B) и прямой KL (касается в точке C). Следовательно, длины отрезков от точки L до точек касания B и C равны: $LB = LC$.

Теперь заменим в выражении для периметра $KC$ на $KA$ и $LC$ на $LB$: $P_{KLM} = MK + ML + KA + LB$.

Сгруппируем слагаемые: $P_{KLM} = (MK + KA) + (ML + LB)$.

Из условия задачи известно, что точка K лежит на отрезке MA, а точка L — на отрезке MB. Это означает, что: $MK + KA = MA$ $ML + LB = MB$

Таким образом, периметр треугольника KLM равен сумме длин касательных MA и MB: $P_{KLM} = MA + MB$.

Наконец, отрезки MA и MB являются касательными, проведенными к одной и той же окружности из одной и той же внешней точки M. По тому же свойству касательных, их длины равны: $MA = MB$.

Отсюда следует, что периметр треугольника KLM равен удвоенной длине отрезка MA: $P_{KLM} = 2 \cdot MA$.

Длина касательной MA определяется только положением точки M и параметрами данной окружности и никак не зависит от выбора точки C на этой окружности. Следовательно, периметр треугольника KLM является постоянной величиной.

Ответ: Периметр треугольника KLM равен $P_{KLM} = 2 \cdot MA$. Поскольку для данной точки M и данной окружности длина касательной $MA$ является постоянной величиной, периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C. Что и требовалось доказать.