Задания, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте самостоятельно установить соотношение между радиусами окружностей, касающихся друг друга, и расстоянием между их центрами (рис. 20.2).

Рис. 20.2

Изобразите окружности, касающиеся внешним образом, и окружности, касающиеся внутренним образом.

а) Рассмотрим случай внешнего касания двух окружностей (рис. 20.2 а). Пусть центры окружностей находятся в точках $O_1$ и $O_2$, а их радиусы равны $R_1$ и $R_2$ соответственно. Когда окружности касаются внешним образом, их точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры. Расстояние между центрами, обозначим его $d$, равно длине отрезка $O_1O_2$. Этот отрезок, в свою очередь, состоит из двух радиусов, проведенных к точке касания. Таким образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов этих окружностей.

Формула: $d = R_1 + R_2$.

Ответ: Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов.

б) Рассмотрим случай внутреннего касания двух окружностей (рис. 20.2 б). Пусть центры окружностей находятся в точках $O_1$ и $O_2$, а их радиусы равны $R_1$ и $R_2$ (примем, что $R_1 > R_2$). Когда окружности касаются внутренним образом, их точка касания и оба центра лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $d$ равно длине отрезка $O_1O_2$. Это расстояние можно вычислить как разность между радиусом большей окружности ($R_1$) и радиусом меньшей окружности ($R_2$).

Формула: $d = R_1 - R_2$. Чтобы формула была верна независимо от того, какая окружность больше, ее записывают с использованием модуля: $d = |R_1 - R_2|$.

Ответ: Расстояние между центрами окружностей, касающихся внутренним образом, равно модулю разности их радиусов.

Изобразите окружности, касающиеся внешним образом, и окружности, касающиеся внутренним образом

Изображения, демонстрирующие оба вида касания, уже приведены в условии задачи на рисунке 20.2.

- Внешнее касание (рис. 20.2 а): Две окружности имеют одну общую точку и расположены одна вне другой. Чтобы начертить их, нужно изобразить две окружности, которые соприкасаются в одной точке, не пересекаясь.

- Внутреннее касание (рис. 20.2 б): Одна окружность (меньшая) расположена внутри другой (большей), и они имеют одну общую точку. Чтобы начертить их, нужно изобразить большую окружность, а затем внутри нее — меньшую, так чтобы они соприкасались в одной точке.

Ответ: Изображения, показывающие внешнее и внутреннее касание окружностей, представлены на рисунке 20.2 в условии задачи.