Новые знания, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Взаимное расположение двух окружностей зависит от их радиусов и расстояния между центрами.

Изобразите точки $O_1$ и $O_2$, расположенные на расстоянии 6 см друг от друга. С помощью циркуля с центром в точке $O_1$ проведите окружность радиусом 3 см. С центром в точке $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Изобразите точки $O_1$ и $O_2$, расположенные на расстоянии 1 см друг от друга. С помощью циркуля с центром в точке $O_1$ проведите окружность радиусом 4 см. С центром в точке $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Рассмотрим последний вариант расположения двух окружностей.

Изобразите точки $O_1$ и $O_2$, расположенные на расстоянии 6 см друг от друга. С помощью циркуля с центром в точке $O_1$ проведите окружность радиусом 4 см. С центром в точке $O_2$ проведите окружность радиусом 3 см.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Изобразите точки $O_1$ и $O_2$, расположенные на расстоянии 2 см друг от друга. С помощью циркуля с центром в точке $O_1$ проведите окружность радиусом 3 см. С центром в точке $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой ($R_1 + R_2$) и разностью ($|R_1 - R_2|$) их радиусов.

В данном случае имеем:

• Расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$: $d = 6$ см.
• Радиус первой окружности: $R_1 = 3$ см.
• Радиус второй окружности: $R_2 = 2$ см.

1. Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 3 + 2 = 5$ см.

2. Сравним расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = 6$ см, а $R_1 + R_2 = 5$ см.

Поскольку $6 > 5$, выполняется условие $d > R_1 + R_2$. Это означает, что окружности расположены одна вне другой и не имеют общих точек.

Ответ: Окружности не пересекаются и расположены одна вне другой.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Проанализируем второй случай.

Дано:

• Расстояние между центрами: $d = 1$ см.
• Радиус первой окружности: $R_1 = 4$ см.
• Радиус второй окружности: $R_2 = 2$ см.

1. Найдем модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |4 - 2| = 2$ см.

2. Сравним расстояние между центрами с разностью радиусов: $d = 1$ см, а $|R_1 - R_2| = 2$ см.

Поскольку $1 < 2$, выполняется условие $d < |R_1 - R_2|$. Это означает, что меньшая окружность (с радиусом 2 см) находится полностью внутри большей окружности (с радиусом 4 см), и они не касаются друг друга.

Ответ: Одна окружность находится внутри другой, не касаясь ее.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Рассмотрим третий вариант расположения.

Исходные данные:

• Расстояние между центрами: $d = 6$ см.
• Радиус первой окружности: $R_1 = 4$ см.
• Радиус второй окружности: $R_2 = 3$ см.

1. Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 4 + 3 = 7$ см.

2. Найдем модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |4 - 3| = 1$ см.

3. Сравним расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов: $d = 6$ см.

Мы видим, что $1 < 6 < 7$, то есть выполняется двойное неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Это условие соответствует случаю, когда окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: Окружности пересекаются в двух точках.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Рассмотрим последний случай.

Дано:

• Расстояние между центрами: $d = 2$ см.
• Радиус первой окружности: $R_1 = 3$ см.
• Радиус второй окружности: $R_2 = 2$ см.

1. Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 3 + 2 = 5$ см.

2. Найдем модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |3 - 2| = 1$ см.

3. Сравним расстояние $d = 2$ см с полученными значениями.

Поскольку $1 < 2 < 5$, выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Следовательно, окружности имеют две общие точки, то есть пересекаются.

Ответ: Окружности пересекаются в двух точках.