Номер 19.13, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.13. Докажите, что отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям (рис. 19.10) равны.

Рис. 19.10

Пусть общие внешние касательные к двум окружностям пересекаются в точке $P$. Точки $A$ и $C$ — это точки касания на первой окружности, а точки $B$ и $D$ — точки касания на второй окружности.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных от точки до точек касания равны.

Применительно к точке $P$ и первой окружности, это свойство дает нам равенство длин отрезков $PA$ и $PC$: $PA = PC$.

Аналогично, для точки $P$ и второй окружности, имеем равенство длин отрезков $PB$ и $PD$: $PB = PD$.

Из рисунка видно, что отрезок $AB$ является разностью отрезков $PA$ и $PB$. Следовательно, его длина равна: $AB = PA - PB$.

Точно так же, длина отрезка $CD$ является разностью отрезков $PC$ и $PD$: $CD = PC - PD$.

Так как $PA = PC$ и $PB = PD$, мы можем вычесть второе равенство из первого: $PA - PB = PC - PD$.

Подставляя в это равенство выражения для $AB$ и $CD$, получаем: $AB = CD$.

Таким образом, равенство отрезков $AB$ и $CD$ доказано.

Ответ: Утверждение доказано.