Номер 20.8, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.8. Расстояние между центрами двух окружностей равно $\text{d}$ и больше суммы их радиусов $R_1$ и $R_2$. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Наименьшее расстояние Пусть центры окружностей находятся в точках $O_1$ и $O_2$, а их радиусы равны $R_1$ и $R_2$. Расстояние между центрами равно $d$. По условию $d > R_1 + R_2$, что означает, что окружности не пересекаются и лежат одна вне другой. Наименьшее расстояние между точками двух окружностей достигается на линии, соединяющей их центры. Возьмем на этой линии точки $A$ и $B$, принадлежащие соответственно первой и второй окружностям и расположенные между центрами $O_1$ и $O_2$. Расстояние между центрами $d$ складывается из трех отрезков: радиуса первой окружности $R_1$, искомого расстояния между точками $A$ и $B$, и радиуса второй окружности $R_2$. Таким образом, мы можем записать равенство: $d = |O_1A| + |AB| + |BO_2| = R_1 + |AB| + R_2$. Выражая из этого уравнения наименьшее расстояние $|AB|$, получаем: $|AB|_{min} = d - R_1 - R_2$. Для любых других точек $A'$ и $B'$ на окружностях, согласно неравенству треугольника, расстояние $|A'B'|$ будет не меньше этой величины.

Ответ: $d - R_1 - R_2$.

Наибольшее расстояние Наибольшее расстояние между точками двух окружностей также достигается на прямой, проходящей через их центры $O_1$ и $O_2$. В этом случае искомые точки $A$ и $B$ будут лежать на этой прямой по разные стороны от отрезка $O_1O_2$, то есть на самых удаленных друг от друга "краях" окружностей. Расстояние между такими точками $A$ и $B$ будет равно сумме расстояния между центрами $d$ и радиусов обеих окружностей $R_1$ и $R_2$. То есть, $|AB|$ равно длине отрезка $|AO_1|$, плюс длина отрезка $|O_1O_2|$, плюс длина отрезка $|O_2B|$. Таким образом, максимальное расстояние вычисляется по формуле: $|AB|_{max} = R_1 + d + R_2$. Любые другие точки на окружностях будут находиться на меньшем расстоянии друг от друга, что также следует из неравенства треугольника: $|A'B'| \le |A'O_1| + |O_1O_2| + |O_2B'| = R_1 + d + R_2$.

Ответ: $d + R_1 + R_2$.