Номер 20.12, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.12. Две окружности с центрами в точках $O_1$, $O_2$ пересекаются в точках $\text{A}$ и $\text{B}$ (рис. 20.11). Докажите, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $\text{AB}$.

Рис. 20.11

Соединим центры окружностей $O_1$ и $O_2$ с точками пересечения $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle O_1AO_2$ и $\triangle O_1BO_2$.

1. Сторона $O_1A = O_1B$, так как обе являются радиусами первой окружности с центром в точке $O_1$.

2. Сторона $O_2A = O_2B$, так как обе являются радиусами второй окружности с центром в точке $O_2$.

3. Сторона $O_1O_2$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В частности, $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. Он является равнобедренным, так как его боковые стороны $O_1A$ и $O_1B$ равны как радиусы одной и той же окружности.

Пусть прямая $O_1O_2$ пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Тогда отрезок $O_1M$ является частью прямой $O_1O_2$. Так как $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$, то $O_1M$ является биссектрисой угла $\angle AO_1B$.

В равнобедренном треугольнике ($\triangle AO_1B$) биссектриса, проведенная из вершины к основанию ($AB$), является также медианой и высотой.

Следовательно, $O_1M$ является высотой к стороне $AB$, что по определению означает, что $O_1M \perp AB$.

Поскольку отрезок $O_1M$ лежит на прямой $O_1O_2$, то вся прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$.