Номер 20.17, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.17. На какое наибольшее число областей могут разбивать плоскость: а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности? Нарисуйте соответствующие области.

Чтобы найти наибольшее число областей, на которые $n$ окружностей могут разбить плоскость, необходимо, чтобы каждая новая окружность пересекала все предыдущие в максимально возможном количестве точек, и все эти точки пересечения были различны. Две окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Таким образом, $n$-я окружность может пересечь предыдущие $n-1$ окружностей в $2(n-1)$ различных точках. Эти точки разделят $n$-ю окружность на $2(n-1)$ дуг, каждая из которых, в свою очередь, разделит одну из уже существующих областей на две. Следовательно, добавление $n$-й окружности увеличивает количество областей на $2(n-1)$.

Если обозначить максимальное число областей для $n$ окружностей как $L(n)$, то можно записать рекуррентную формулу: $L(n) = L(n-1) + 2(n-1)$ для $n \ge 2$, при начальном условии $L(1) = 2$. Из этой рекуррентной формулы можно вывести общую формулу: $L(n) = n^2 - n + 2$.

а) Для двух окружностей ($n=2$) наибольшее число областей достигается, когда они пересекаются в двух точках. Согласно принципу, вторая окружность пересекает первую, создавая $2(2-1) = 2$ новые области. Изначально одна окружность делит плоскость на 2 области (внутреннюю и внешнюю), поэтому общее число областей становится $2 + 2 = 4$.

По общей формуле: $L(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4$.

На рисунке ниже показано такое расположение и 4 образованные области (одна внешняя, две области, ограниченные одной дугой, и одна центральная область пересечения).

Ответ: 4.

б) Для трех окружностей ($n=3$) каждая окружность должна пересекать две другие, при этом никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке. Третья окружность пересечет первые две в $2 \times 2 = 4$ различных точках, создав $2(3-1) = 4$ новые области.

Общее число областей: $L(3) = L(2) + 4 = 4 + 4 = 8$.

По общей формуле: $L(3) = 3^2 - 3 + 2 = 9 - 3 + 2 = 8$.

Такое расположение можно представить в виде диаграммы Венна для трех множеств.

Ответ: 8.

в) Для четырех окружностей ($n=4$) каждая пара окружностей должна пересекаться в двух точках, и никакие три не должны иметь общей точки пересечения. Четвертая окружность пересечет три предыдущие в $2 \times 3 = 6$ различных точках, создав $2(4-1) = 6$ новых областей.

Общее число областей: $L(4) = L(3) + 6 = 8 + 6 = 14$.

По общей формуле: $L(4) = 4^2 - 4 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14$.

Пример расположения, дающего 14 областей, показан на рисунке ниже.

Ответ: 14.