Номер 21.7, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.7. Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C (рис. 21.7).

Рис. 21.7

Точка, равноудаленная от трех заданных точек A, B и C, является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Эта точка находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для нахождения этой точки достаточно построить два серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения. Для удобства вычислений введем систему координат, где левый нижний узел сетки является началом координат (0, 0), а сторона каждой клетки равна 1.

а) В данной системе координат точки имеют следующие координаты: A(0, 2), B(3, 1) и C(3, 3).

Рассмотрим отрезок BC. Точки B и C имеют одинаковую x-координату, равную 3, следовательно, отрезок BC вертикален. Середина отрезка BC имеет координаты $(\frac{3+3}{2}, \frac{1+3}{2}) = (3, 2)$. Серединный перпендикуляр к вертикальному отрезку является горизонтальной прямой, проходящей через его середину. Таким образом, все точки, равноудаленные от B и C, лежат на прямой $y=2$.

Теперь нам нужно найти на этой прямой точку O(x, 2), которая также равноудалена от точек A и C. Условие равноудаленности $OA = OC$ можно записать как $OA^2 = OC^2$.

Квадрат расстояния $OA^2 = (x-0)^2 + (2-2)^2 = x^2$.

Квадрат расстояния $OC^2 = (x-3)^2 + (2-3)^2 = (x-3)^2 + (-1)^2 = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10$.

Приравнивая выражения, получаем: $x^2 = x^2 - 6x + 10$.

Отсюда $6x = 10$, и $x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(\frac{5}{3}, 2)$.

Ответ: Искомая точка расположена на высоте 2 клеток от нижнего края сетки и на расстоянии $1 \frac{2}{3}$ клетки от левого края сетки.

б) Координаты точек: A(1, 3), B(2, 1) и C(4, 3).

Рассмотрим отрезок AC. Точки A и C имеют одинаковую y-координату, равную 3, следовательно, отрезок AC горизонтален. Середина отрезка AC имеет координаты $(\frac{1+4}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2.5, 3)$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку является вертикальной прямой, проходящей через его середину. Таким образом, все точки, равноудаленные от A и C, лежат на прямой $x=2.5$.

Найдем на этой прямой точку O(2.5, y), которая равноудалена от A и B. Условие $OA^2 = OB^2$.

$OA^2 = (2.5-1)^2 + (y-3)^2 = 1.5^2 + y^2 - 6y + 9 = 2.25 + y^2 - 6y + 9 = y^2 - 6y + 11.25$.

$OB^2 = (2.5-2)^2 + (y-1)^2 = 0.5^2 + y^2 - 2y + 1 = 0.25 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2y + 1.25$.

Приравниваем: $y^2 - 6y + 11.25 = y^2 - 2y + 1.25$.

$10 = 4y$, откуда $y = \frac{10}{4} = 2.5$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(2.5, 2.5)$.

Ответ: Искомая точка находится в центре клетки, левый нижний угол которой находится в узле сетки с координатами (2, 2).

в) Координаты точек: A(1, 1), B(2, 1) и C(4, 3).

Рассмотрим отрезок AB. Точки A и B имеют одинаковую y-координату, равную 1, следовательно, отрезок AB горизонтален. Середина отрезка AB имеет координаты $(\frac{1+2}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1.5, 1)$. Серединный перпендикуляр к нему — это вертикальная прямая $x=1.5$.

Найдем на этой прямой точку O(1.5, y), которая равноудалена от B и C. Условие $OB^2 = OC^2$.

$OB^2 = (1.5-2)^2 + (y-1)^2 = (-0.5)^2 + y^2 - 2y + 1 = 0.25 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2y + 1.25$.

$OC^2 = (1.5-4)^2 + (y-3)^2 = (-2.5)^2 + y^2 - 6y + 9 = 6.25 + y^2 - 6y + 9 = y^2 - 6y + 15.25$.

Приравниваем: $y^2 - 2y + 1.25 = y^2 - 6y + 15.25$.

$4y = 14$, откуда $y = \frac{14}{4} = 3.5$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(1.5, 3.5)$.

Ответ: Искомая точка находится в центре клетки, левый нижний угол которой находится в узле сетки с координатами (1, 3).