Номер 21.12, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.12. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки $\text{A}$ и $\text{B}$.

21.12. Пусть $O$ — центр окружности, которая проходит через две данные точки $A$ и $B$.

По определению окружности, все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. Так как точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности, то расстояния от центра $O$ до этих точек равны радиусу $R$ данной окружности.

Следовательно, мы можем записать: $OA = R$ и $OB = R$.

Из этого следует, что $OA = OB$. Это означает, что любая точка $O$, которая может быть центром искомой окружности, является равноудаленной от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки ($AB$), и проходящую через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Докажем это.

1. Пусть точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда в треугольнике $AOB$ отрезок $OM$ является медианой и высотой. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный, и $OA = OB$. Значит, любая точка серединного перпендикуляра может быть центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.

2. Пусть точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$. Тогда треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Медиана $OM$, проведенная к основанию этого треугольника, будет также его высотой. Это означает, что прямая $OM$ перпендикулярна $AB$ и проходит через середину $M$ отрезка $AB$. Таким образом, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Следовательно, искомое геометрическое место центров — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.