Номер 21.19, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.19. Изобразите окружность и треугольник, стороны которого касаются окружности.

Требуется изобразить окружность и треугольник, у которого все три стороны являются касательными к этой окружности. Такой треугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в треугольник.

Для построения такой фигуры можно выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.
2. Выбрать на окружности три произвольные различные точки, назовем их $K$, $M$ и $P$.
3. В каждой из этих точек провести касательную к окружности. Касательная к окружности в данной точке перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
   • Провести радиусы $OK$, $OM$ и $OP$.
   • Построить прямую, проходящую через точку $K$ и перпендикулярную радиусу $OK$.
   • Построить прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную радиусу $OM$.
   • Построить прямую, проходящую через точку $P$ и перпендикулярную радиусу $OP$.
4. Касательные, пересекаясь, образуют треугольник. Обозначим вершины этого треугольника как $A$, $B$, и $C$.
5. Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как его стороны касаются окружности.

Ниже представлено изображение такой геометрической конфигурации.

На изображении:

• Окружность с центром $O$ вписана в треугольник $ABC$.
• Стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника касаются окружности в точках $M$, $K$ и $P$ соответственно.
• Радиусы $OK$, $OM$, $OP$ перпендикулярны сторонам $BC$, $AB$, $AC$ соответственно: $OK \perp BC$, $OM \perp AB$, $OP \perp AC$.

Ответ:

Изображение треугольника, стороны которого касаются окружности, представлено выше. Эта окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник — описанным около окружности.