Номер 21.14, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.14. Укажите точки, равноудаленные от трех прямых $\text{a}$, $\text{b}$, $\text{c}$, изображенных на рисунке 21.11.

Рис. 21.11

а) На рисунке а прямые a и c параллельны, а прямая b перпендикулярна им обеим. Пусть расстояние между параллельными прямыми a и c равно $d$. По клеткам видно, что $d=4$ единицы.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная им и проходящая посередине между ними. Назовем ее срединной линией m. Расстояние от любой точки на прямой m до прямых a и c будет равно $d/2 = 4/2 = 2$.

Теперь необходимо найти на прямой m такие точки, которые находятся на том же расстоянии (равном 2) от прямой b. Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 2 от прямой b, — это две прямые, параллельные b, одна выше, а другая ниже ее на 2 единицы.

Искомые точки являются точками пересечения срединной линии m и двух прямых, параллельных b. Таких точек две. Визуально на сетке это центры двух квадратов со стороной 4, образованных данными прямыми и линиями сетки.

Ответ: две точки, расположенные на срединной линии между прямыми a и c на расстоянии 2 единицы от прямой b по обе стороны от нее.

б) На рисунке б изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые не проходят через одну точку. Если мысленно продолжить отрезки, то прямые a, b и c образуют треугольник.

Точки, равноудаленные от трех прямых, образующих треугольник, являются центрами окружностей, касающихся этих трех прямых.

Существует четыре таких окружности и, соответственно, четыре таких центра:

1. Центр вписанной окружности, который лежит внутри треугольника. Эта точка является точкой пересечения внутренних биссектрис углов треугольника.

2. Три центра вневписанных окружностей, которые лежат вне треугольника. Каждая из этих точек является точкой пересечения одной внутренней биссектрисы и двух внешних биссектрис углов треугольника.

Таким образом, для данного расположения прямых существует четыре точки, равноудаленные от них.

Ответ: четыре точки — центр вписанной и три центра вневписанных окружностей треугольника, образованного прямыми a, b и c.

в) На рисунке в все три прямые a, b и c пересекаются в одной точке. Такие прямые называются конкурентными.

Пусть точка их пересечения — это точка O. Расстояние от точки до прямой, на которой она лежит, равно нулю. Следовательно, для точки O расстояние до прямой a, до прямой b и до прямой c равно нулю.

$d(O, a) = 0$, $d(O, b) = 0$, $d(O, c) = 0$.

Так как $0 = 0 = 0$, точка O равноудалена от всех трех прямых.

Рассмотрим любую другую точку P, не совпадающую с O. Чтобы точка P была равноудалена от прямых a и b, она должна лежать на биссектрисе угла, образованного этими прямыми. Чтобы она была равноудалена от прямых b и c, она должна лежать на биссектрисе угла, образованного ими. Все биссектрисы углов, образованных этими тремя прямыми, также пересекаются в точке O. Так как в общем случае эти биссектрисы являются различными прямыми, проходящими через O, их единственной общей точкой является сама точка O. Следовательно, не существует другой точки, кроме O, которая была бы равноудалена от всех трех прямых.

Ответ: одна точка — точка пересечения прямых a, b и c.