Номер 21.8, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.8. Пусть $\text{A}$ и $\text{B}$ — точки плоскости. Укажите геометрическое место точек $\text{C}$, для которых:

а) $AC > BC$;

б) $AC < AB$.

а) Чтобы найти геометрическое место точек $C$, для которых выполняется неравенство $AC > BC$, рассмотрим сначала граничный случай — равенство $AC = BC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую как $m$.

Прямая $m$ делит всю плоскость на две открытые полуплоскости.

• Для всех точек, лежащих в полуплоскости, которая содержит точку $A$, расстояние до $A$ будет меньше, чем до $B$. То есть, для любой точки $C$ в этой полуплоскости выполняется неравенство $AC < BC$.
• Для всех точек, лежащих в полуплоскости, которая содержит точку $B$, расстояние до $A$ будет больше, чем до $B$. То есть, для любой точки $C$ в этой полуплоскости выполняется неравенство $AC > BC$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек $C$, удовлетворяющих условию $AC > BC$, — это открытая полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и содержащая точку $B$.

Ответ: Открытая полуплоскость, границей которой является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и в которой лежит точка $B$.

б) Необходимо найти геометрическое место точек $C$, для которых выполняется неравенство $AC < AB$.

Здесь $AB$ — это фиксированное расстояние между данными точками $A$ и $B$. Неравенство $AC < AB$ означает, что расстояние от искомой точки $C$ до точки $A$ должно быть меньше этого фиксированного расстояния.

Рассмотрим граничный случай — равенство $AC = AB$. Это уравнение определяет окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = AB$. Заметим, что точка $B$ лежит на этой окружности.

Все точки $C$, для которых расстояние до центра $A$ меньше радиуса $R=AB$, лежат внутри этой окружности. Так как неравенство $AC < AB$ строгое, точки на самой окружности не входят в искомое множество.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это множество всех точек, лежащих внутри окружности с центром в $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. Эта область называется открытым кругом.

Ответ: Открытый круг (внутренность круга) с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.