Номер 21.13, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.13. Найдите геометрическое место вершин $\text{C}$ равнобедренных треугольников с данным основанием $\text{AB}$.

Пусть дан отрезок AB. Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек C, для которых треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB.

По определению равнобедренного треугольника с основанием AB, его боковые стороны AC и BC должны быть равны. Таким образом, задача сводится к нахождению геометрического места точек C, равноудаленных от точек A и B, то есть удовлетворяющих условию $AC = BC$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром. Докажем это.

Сначала докажем, что любая точка C, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку AB, равноудалена от точек A и B. Пусть $m$ — серединный перпендикуляр к AB, и пусть M — середина AB. Возьмем любую точку C на прямой $m$. Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. В них сторона CM — общая, $AM = MB$ по определению середины отрезка, а углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ прямые, так как $m \perp AB$. Следовательно, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AC = BC$.

Теперь докажем обратное: любая точка C, равноудаленная от A и B, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Пусть для точки C выполняется равенство $AC = BC$. Тогда треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB. Проведем медиану CM к основанию AB. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Это означает, что $CM \perp AB$. Так как прямая, содержащая отрезок CM, проходит через середину M отрезка AB и перпендикулярна ему, то она является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Таким образом, точка C лежит на этом перпендикуляре.

Мы доказали, что множество всех точек C, для которых $AC = BC$, — это в точности серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Однако для того, чтобы точки A, B и C образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой. Единственная точка серединного перпендикуляра, которая лежит на прямой AB, — это середина M отрезка AB. Если вершина C совпадает с точкой M, то треугольник вырождается в отрезок. Следовательно, эту точку необходимо исключить из искомого геометрического места.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB, за исключением его середины.