Номер 22.2, страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.2. Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться:

а) внутри треугольника;

б) на стороне треугольника;

в) вне этого треугольника? Приведите примеры.

а) внутри треугольника

Да, центр описанной около треугольника окружности может находиться внутри него. Это происходит, если треугольник является остроугольным, то есть все его углы меньше $90^\circ$. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, и для остроугольного треугольника эта точка всегда находится внутри него.

Пример: Любой равносторонний треугольник. Все его углы равны $60^\circ$, поэтому он остроугольный. Центр его описанной окружности находится внутри треугольника (он совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).

Ответ: Да, может.

б) на стороне треугольника

Да, центр описанной окружности может находиться на стороне треугольника. Это справедливо для любого прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника всегда лежит на середине его гипотенузы.

Пример: Прямоугольный треугольник. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на дугу в $180^\circ$, то есть на диаметр. Следовательно, гипотенуза треугольника является диаметром описанной окружности, а её середина — центром этой окружности.

Ответ: Да, может.

в) вне этого треугольника

Да, центр описанной окружности может находиться вне треугольника. Это происходит, если треугольник является тупоугольным, то есть один из его углов больше $90^\circ$. В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам оказывается за пределами треугольника.

Пример: Треугольник с одним тупым углом, например, с углами $110^\circ$, $40^\circ$ и $30^\circ$. Центр описанной окружности такого треугольника будет находиться вне его, напротив тупого угла.

Ответ: Да, может.