Номер 22.5, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на рисунке 22.8 (стороны клеток равны 1).

Рис. 22.8

а) Для нахождения радиуса описанной окружности введем систему координат. Пусть вершина A находится в точке (0, 0). Тогда, исходя из расположения вершин на клетчатой бумаге, координаты других вершин будут B(4, 0) и C(2, 2). Найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Длина стороны AB (обозначим как $c$) равна 4. Длина стороны AC (обозначим как $b$): $b = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Длина стороны BC (обозначим как $a$): $a = \sqrt{(4-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения основания на высоту. Примем AB за основание. Длина основания $c=4$. Высота, проведенная из вершины C к стороне AB, равна 2 (это разность y-координат C и AB). $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$. Теперь вычислим радиус: $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{8 \cdot 4}{16} = \frac{32}{16} = 2$. Ответ: 2

б) Введем систему координат, поместив вершину A в начало координат (0, 0). Тогда, судя по рисунку, координаты других вершин будут C(0, 4) и B(3, 2). Найдем длины сторон треугольника. Длина стороны AC (обозначим как $b$), лежащей на оси ординат, равна 4. Длина стороны AB (обозначим как $c$): $c = \sqrt{(3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$. Длина стороны BC (обозначим как $a$): $a = \sqrt{(3-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$. Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$. Площадь треугольника $S$ найдем, приняв за основание сторону AC. Ее длина равна 4. Высота, проведенная к этому основанию из вершины B, равна x-координате точки B, то есть 3. $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$. Вычислим радиус описанной окружности: $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{\sqrt{13} \cdot 4 \cdot \sqrt{13}}{4 \cdot 6} = \frac{13 \cdot 4}{24} = \frac{13}{6}$. Ответ: $\frac{13}{6}$

в) Введем систему координат. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты (0, 0). Тогда вершины треугольника будут иметь координаты A(1, 1), B(5, 3) и C(2, 4). Найдем квадраты длин сторон треугольника, чтобы проверить его тип. $a^2 = BC^2 = (5-2)^2 + (3-4)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$. $b^2 = AC^2 = (2-1)^2 + (4-1)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. $c^2 = AB^2 = (5-1)^2 + (3-1)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$. Заметим, что выполняется равенство $a^2 + b^2 = 10 + 10 = 20 = c^2$. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, а угол C, противолежащий стороне AB, — прямой. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. Гипотенузой является сторона AB. Длина гипотенузы $c = AB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Таким образом, радиус описанной окружности равен $R = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$. Ответ: $\sqrt{5}$