Номер 22.11, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.11. Какой вид имеет треугольник, если его центры вписанной и описанной окружностей совпадают?

Пусть в треугольнике $ABC$ центры вписанной и описанной окружностей совпадают в точке $P$.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, точка $P$ лежит на биссектрисах углов $A$, $B$ и $C$.

Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Следовательно, точка $P$ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам $AB$, $BC$ и $AC$.

Рассмотрим вершину $A$ и противолежащую ей сторону $BC$. Так как точка $P$ лежит как на биссектрисе угла $A$, так и на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то биссектриса, проведенная из вершины $A$, совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

В любом треугольнике, если биссектриса угла совпадает с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне (а значит, является также высотой и медианой), то такой треугольник является равнобедренным относительно этой вершины. В нашем случае это означает, что отрезки, соединяющие вершину $A$ с двумя другими вершинами, равны: $AB = AC$.

Проводя аналогичные рассуждения для вершины $B$ и противолежащей стороны $AC$, мы получаем, что биссектриса угла $B$ совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Отсюда следует, что треугольник является равнобедренным относительно вершины $B$, то есть $BA = BC$.

Объединяя полученные результаты, имеем: $AB = AC$ и $AB = BC$. Следовательно, все стороны треугольника равны между собой: $AB = BC = AC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним (правильным).

Ответ: равносторонний.