Номер 23.8, страница 138 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.8. По данному рисунку 23.9 объясните, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AD = m$.

Рис. 23.9

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по известным длинам двух сторон $AB = c$, $AC = b$ и медианы $AD = m$, проведенной к третьей стороне. Решение задачи основано на методе вспомогательного построения, который сводит задачу к построению треугольника по трем сторонам.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. $AD$ — его медиана, значит, точка $D$ является серединой стороны $BC$. На луче $AD$ отложим отрезок $DE$, равный отрезку $AD$. Таким образом, $AE = AD + DE = m + m = 2m$.

Рассмотрим четырехугольник $ABEC$. Его диагонали $BC$ и $AE$ пересекаются в точке $D$. По определению медианы, $BD = DC$. По нашему построению, $AD = DE$. Так как диагонали четырехугольника $ABEC$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны: $BE = AC = b$ и $EC = AB = c$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABE$. Все три его стороны нам известны: $AB = c$, $BE = b$ и $AE = 2m$. Мы можем построить такой треугольник по трем сторонам.

После построения треугольника $ABE$ мы найдем вершины $A$ и $B$ искомого треугольника $ABC$. Вершину $C$ можно найти, заметив, что $D$ — середина отрезка $AE$. Найдя точку $D$, мы проводим луч $BD$ и откладываем на нем отрезок $DC = BD$. Полученная точка $C$ будет третьей вершиной искомого треугольника.

Построение

1. Строим отрезок $AE$ длиной $2m$.

2. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $c$.

3. Из точки $E$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$.

4. Точка пересечения этих дуг будет вершиной $B$. (Если дуги не пересекаются, задача не имеет решения. Если они пересекаются в двух точках, можно выбрать любую, так как получатся два конгруэнтных треугольника). Соединяем точки $A$ и $B$, $B$ и $E$. Получаем вспомогательный треугольник $ABE$.

5. Находим середину отрезка $AE$ — точку $D$.

6. Проводим луч из точки $B$ через точку $D$.

7. На этом луче от точки $D$ откладываем отрезок $DC$, равный отрезку $BD$.

8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ по построению равна $c$.

Рассмотрим четырехугольник $ABEC$. По построению, $D$ — середина $AE$ (так как $AE=2m$ и $AD = AE/2 = m$) и $D$ — середина $BC$ (так как $DC=BD$). Следовательно, $ABEC$ — параллелограмм. Из этого следует, что $AC = BE$. А отрезок $BE$ мы строили равным $b$. Значит, $AC = b$.

Отрезок $AD$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$ и по построению имеет длину $m$. Следовательно, $AD$ — медиана треугольника $ABC$ и ее длина равна $m$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Основной этап построения — создание треугольника $ABE$ со сторонами $b, c, 2m$. Такой треугольник можно построить тогда и только тогда, когда для его сторон выполняется неравенство треугольника:

$b + c > 2m$

$b + 2m > c$

$c + 2m > b$

Если эти условия выполнены, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если одно из неравенств обращается в равенство, треугольник будет вырожденным (все три вершины лежат на одной прямой). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то построение невозможно, и задача не имеет решений.

Ответ: Чтобы построить треугольник $ABC$, необходимо сначала построить вспомогательный треугольник $ABE$ со сторонами $AB=c$, $BE=b$ и $AE=2m$. Затем найти середину $D$ стороны $AE$. Наконец, на луче $BD$ отложить отрезок $DC$, равный $BD$. Треугольник $ABC$ будет искомым.