Номер 23.14, страница 139 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.14. а) Что называется параболой? Оптическое свойство параболы.

б) Что называется эллипсом? Оптическое свойство эллипса.

в) Что называется гиперболой? Оптическое свойство гиперболы.

а) Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой. Если $F$ — фокус, $d$ — директриса, а $M$ — произвольная точка параболы, то расстояние от $M$ до $F$ равно расстоянию от $M$ до $d$. Это можно записать как $MF = \rho(M, d)$, где $\rho(M, d)$ — расстояние от точки $M$ до прямой $d$.

Оптическое свойство параболы заключается в том, что лучи, исходящие из фокуса, после отражения от параболы распространяются параллельно её оси симметрии. И наоборот, все лучи, падающие на параболу параллельно её оси, после отражения собираются в фокусе. Это свойство широко используется в технике: в прожекторах, фарах автомобилей, параболических антеннах и телескопах-рефлекторах.

Ответ: Парабола — это кривая, все точки которой равноудалены от фокуса и директрисы. Её оптическое свойство заключается в способности собирать параллельные лучи в фокусе или, наоборот, создавать параллельный пучок лучей из источника, расположенного в фокусе.

б) Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Если $F_1$ и $F_2$ — фокусы, а $M$ — произвольная точка эллипса, то $MF_1 + MF_2 = 2a$, где $2a$ — постоянная величина, равная длине большой оси эллипса.

Оптическое свойство эллипса состоит в том, что луч света, вышедший из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус. Это происходит потому, что касательная к эллипсу в любой его точке образует равные углы с отрезками, соединяющими эту точку с фокусами. Примером применения этого свойства являются так называемые "шепчущие галереи", где звук, произнесенный шепотом в одном фокусе, хорошо слышен в другом.

Ответ: Эллипс — это кривая, для которой сумма расстояний от любой её точки до двух фокусов постоянна. Его оптическое свойство состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения собираются в другом фокусе.

в) Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Если $F_1$ и $F_2$ — фокусы, а $M$ — произвольная точка гиперболы, то $|MF_1 - MF_2| = 2a$, где $2a$ — постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Оптическое свойство гиперболы заключается в следующем: луч света, направленный в один из фокусов гиперболы (например, $F_2$), после отражения от соответствующей ветви гиперболы пойдет так, как будто он вышел из другого фокуса ($F_1$). То есть продолжение отраженного луча проходит через второй фокус. Это свойство используется в некоторых оптических системах, например, в телескопах системы Кассегрена, где гиперболическое зеркало используется для направления света в удобное для наблюдения место.

Ответ: Гипербола — это кривая, для которой модуль разности расстояний от любой её точки до двух фокусов постоянен. Её оптическое свойство заключается в том, что луч, направленный в один фокус, после отражения от гиперболы движется так, будто он исходит из другого фокуса.