Номер 23.10, страница 138 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.10. Используя рисунок 23.11, постройте треугольник АВС по двум данным сторонам $AC = a$, $BC = b$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.11

Для построения треугольника $ABC$ по заданным сторонам $AC = a$, $BC = b$ и высоте $CH = h$ используется метод геометрических мест. Идея состоит в том, чтобы последовательно определить положение вершин треугольника, исходя из их свойств.

Сначала проанализируем свойства искомого треугольника. Высота $CH$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $AB$. Это означает, что вершина $C$ должна находиться на расстоянии $h$ от этой прямой. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, — это две параллельные ей прямые. Кроме того, вершина $A$ должна находиться на расстоянии $a$ от вершины $C$ (т.е. лежать на окружности с центром $C$ и радиусом $a$), а вершина $B$ — на расстоянии $b$ от $C$ (т.е. лежать на окружности с центром $C$ и радиусом $b$).

На основе этого анализа можно сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Провести произвольную прямую $p$. Она будет содержать сторону $AB$ будущего треугольника.
2. Построить прямую $q$, параллельную прямой $p$ и отстоящую от нее на расстояние $h$.
3. Выбрать на прямой $q$ произвольную точку $C$. Это будет третья вершина треугольника.
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $a$. Точку(и) пересечения этой окружности с прямой $p$ обозначим как $A$. Для существования таких точек необходимо, чтобы $a \ge h$.
5. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $b$. Точку(и) пересечения этой окружности с прямой $p$ обозначим как $B$. Для существования таких точек необходимо, чтобы $b \ge h$.
6. Соединить отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи. По построению, сторона $AC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому ее длина равна $a$. Аналогично, длина стороны $BC$ равна $b$. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, по построению равна расстоянию между параллельными прямыми $p$ и $q$, то есть равна $h$. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Следует отметить, что задача не всегда имеет решение. Построение возможно только в том случае, если выполняются неравенства $a \ge h$ и $b \ge h$, поскольку длина гипотенузы в прямоугольных треугольниках $AHC$ и $BHC$ (где $H$ - основание высоты) не может быть меньше длины катета. Если эти условия выполнены и $a \ne b$, то, как правило, можно построить два различных (неконгруэнтных) треугольника, так как вершины $A$ и $B$ можно выбрать по одну или по разные стороны от основания высоты $H$.

Ответ: Для построения треугольника $ABC$ нужно провести прямую $p$, затем параллельную ей прямую $q$ на расстоянии $h$. На прямой $q$ выбрать точку $C$. Затем найти вершины $A$ и $B$ на прямой $p$ как точки пересечения с окружностями, имеющими центр в точке $C$ и радиусы $a$ и $b$ соответственно. Соединив точки $A, B, C$, получим искомый треугольник.