Номер 23.12, страница 139 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.12. Используя рисунок 23.13, постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности.

Рис. 23.13

Для построения касательной к окружности из точки, лежащей вне ее, используется свойство, согласно которому касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$ вне окружности. Пусть $B$ — точка касания, тогда прямая $AB$ является искомой касательной. Согласно указанному свойству, радиус $OB$ должен быть перпендикулярен прямой $AB$, то есть $OB \perp AB$. Это означает, что треугольник $ΔOBA$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ ($∠OBA = 90°$).

Геометрическое место точек, из которых отрезок $OA$ виден под прямым углом, представляет собой окружность, построенную на отрезке $OA$ как на диаметре. Следовательно, искомые точки касания $B_1$ и $B_2$ являются точками пересечения исходной окружности и этой вспомогательной окружности.

Алгоритм построения

1. Соединить отрезком центр окружности $O$ и данную точку $A$.
2. Найти середину отрезка $OA$. Обозначим эту точку как $M$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $OA$.
3. Построить вспомогательную окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным $MO$ (или $MA$).
4. Найти точки пересечения построенной вспомогательной окружности и исходной окружности. Обозначим их $B_1$ и $B_2$.
5. Провести прямые через точку $A$ и точки $B_1$ и $B_2$. Прямые $AB_1$ и $AB_2$ являются искомыми касательными.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ΔOB_1A$. Точка $B_1$ лежит на вспомогательной окружности, для которой отрезок $OA$ является диаметром. По свойству угла, вписанного в окружность и опирающегося на диаметр, угол $∠OB_1A$ является прямым.

Таким образом, прямая $AB_1$ перпендикулярна радиусу $OB_1$ в его концевой точке $B_1$, лежащей на окружности. По определению, такая прямая является касательной к окружности.

Аналогично доказывается, что прямая $AB_2$ также является касательной к исходной окружности.

Ответ: Искомые касательные — это прямые $AB_1$ и $AB_2$, где $B_1$ и $B_2$ являются точками пересечения исходной окружности и вспомогательной окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.