Номер 23.11, страница 139 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.11. Используя рисунок 23.12, постройте треугольник ABC по данным стороне $AB = c$, медиане $CD = m$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.12

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $AB = c$, медиана $CD = m$ и высота $CH = h$.

По определению высоты, вершина $C$ удалена от прямой, содержащей сторону $AB$, на расстояние $h$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от прямой $AB$ на расстояние $h$, являются две прямые, параллельные $AB$. Вершина $C$ должна лежать на одной из этих прямых.

По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Вершина $C$ удалена от точки $D$ на расстояние $m$. Геометрическим местом точек, удаленных от точки $D$ на расстояние $m$, является окружность с центром в $D$ и радиусом $m$.

Следовательно, вершина $C$ является точкой пересечения двух геометрических мест: прямой, параллельной $AB$ и находящейся на расстоянии $h$ от нее, и окружности с центром в середине стороны $AB$ и радиусом $m$.

Построение

1. Начертить произвольную прямую $a$ и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой $a$ отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
3. Построить середину $D$ отрезка $AB$. Для этого можно построить две окружности с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим, чем $c/2$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, пересечет отрезок $AB$ в его середине $D$.
4. Построить прямую $l$, параллельную прямой $a$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого нужно в точке $D$ восстановить перпендикуляр к прямой $a$ и отложить на нем отрезок $DK$ длиной $h$. Прямая $l$, проведенная через точку $K$ параллельно прямой $a$, будет искомым геометрическим местом точек для вершины $C$.
5. Построить окружность с центром в точке $D$ и радиусом, равным длине медианы $m$.
6. Точка (или точки) пересечения окружности и прямой $l$ является искомой вершиной $C$. Если таких точек две, можно выбрать любую из них.
7. Соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ по построению равна $c$. Точка $D$ является серединой $AB$, значит, отрезок $CD$ — медиана. Длина $CD$ равна $m$, так как точка $C$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $m$. Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ равно $h$, так как точка $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AB$ и удаленной от нее на расстояние $h$. Следовательно, высота $CH$ треугольника, опущенная на сторону $AB$, равна $h$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность (геометрическое место для $C$ по медиане) и прямая $l$ (геометрическое место для $C$ по высоте) имеют хотя бы одну общую точку. Расстояние от центра окружности $D$ до прямой $l$ равно $h$, а радиус окружности равен $m$.

• Если $m > h$, окружность и прямая пересекаются в двух точках. Это дает два симметричных относительно прямой $CD$ треугольника, которые равны между собой. Таким образом, задача имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.
• Если $m = h$, окружность и прямая касаются в одной точке. Это означает, что медиана $CD$ одновременно является и высотой $CH$. Треугольник $ABC$ будет равнобедренным с основанием $AB$. В этом случае решение единственно.
• Если $m < h$, окружность и прямая не имеют общих точек, и построение невозможно. Геометрически это означает, что длина медианы не может быть меньше длины высоты, проведенной к той же стороне (в прямоугольном треугольнике $CDH$ гипотенуза $CD$ не может быть короче катета $CH$).

Ответ: задача имеет решение при условии $m \ge h$. Если $m > h$, существует единственное решение (с точностью до симметрии). Если $m = h$, существует единственное решение (треугольник будет равнобедренным). Если $m < h$, задача решений не имеет.