Номер 23.13, страница 139 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.13. Популярная задача на построение с помощью циркуля и линейки в V в. до н. э. "Задача об удвоении куба", которая называется Делосской.

Популярная задача на построение с помощью циркуля и линейки в V в. до н. э. «Задача об удвоении куба», которая называется Делосской.

Задача об удвоении куба, также известная как Делосская задача, является одной из трёх знаменитых задач на построение древнегреческой математики, наряду с трисекцией угла и квадратурой круга. Она была сформулирована в V веке до нашей эры.

Суть задачи заключается в следующем: дан куб с ребром $a$, необходимо с помощью только циркуля (без делений) и линейки (без делений) построить ребро $x$ нового куба, объём которого был бы в два раза больше объёма исходного куба.

Математически это выражается так:

Объём исходного куба: $V_1 = a^3$.

Объём нового куба: $V_2 = x^3$.

Требуется, чтобы $V_2 = 2V_1$, то есть $x^3 = 2a^3$.

Из этого уравнения мы получаем соотношение для ребра нового куба:

$(x/a)^3 = 2$

$x/a = \sqrt[3]{2}$

$x = a\sqrt[3]{2}$

Таким образом, вся задача сводится к построению отрезка длиной $a\sqrt[3]{2}$, имея отрезок длиной $a$. Если принять исходный отрезок $a$ за единицу длины ($a=1$), то задача сводится к построению отрезка длиной $\sqrt[3]{2}$.

Легенда связывает название «Делосская задача» с островом Делос. Во время эпидемии чумы в Афинах жители обратились к дельфийскому оракулу. Оракул повелел им удвоить кубический жертвенник Аполлона. Афиняне, не поняв сути, просто построили новый жертвенник с ребром вдвое длиннее, но это увеличило объём в восемь раз ($ (2a)^3 = 8a^3 $), и чума не прекратилась. Тогда стало ясно, что нужно именно удвоить объём, а не длину ребра.

В течение многих веков математики пытались решить эту задачу с помощью циркуля и линейки, но безуспешно. Окончательное доказательство невозможности такого построения было дано только в 1837 году французским математиком Пьером Ванцелем.

Доказательство основывается на теории полей и понятии «построимого числа». Построимое число — это число, которое может быть получено из единичного отрезка за конечное число шагов с помощью циркуля и линейки. Такие построения позволяют выполнять четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение квадратного корня. Алгебраически это означает, что любое построимое число должно быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами, степень которого является степенью двойки ($2^n$, где $n$ — целое неотрицательное число).

Число $\sqrt[3]{2}$, которое необходимо построить, является корнем уравнения $x^3 - 2 = 0$. Этот многочлен является неприводимым над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ (то есть его нельзя разложить на многочлены меньшей степени с рациональными коэффициентами). Степень этого многочлена равна 3. Поскольку 3 не является степенью двойки ($3 \neq 2^n$), число $\sqrt[3]{2}$ не является построимым. Следовательно, задача об удвоении куба неразрешима с помощью циркуля и линейки.

Тем не менее, древнегреческие математики нашли способы решения этой задачи, если отказаться от строгих ограничений на инструменты. Например, Менехм (IV в. до н.э.) показал, что решение можно найти как точку пересечения двух парабол: $x^2 = ay$ и $y^2 = 2ax$. Также были предложены решения с использованием специальных кривых (конхоиды Никомеда, циссоиды Диокла) или с помощью линейки с делениями (метод «невсиса»).

Ответ: Задача об удвоении куба (Делосская задача) не имеет решения с помощью циркуля и линейки без делений. Это связано с тем, что для её решения необходимо построить отрезок, длина которого относится к длине ребра исходного куба как $\sqrt[3]{2}:1$. Число $\sqrt[3]{2}$ не является построимым, так как минимальный многочлен для него, $x^3 - 2 = 0$, имеет степень 3, а степени минимальных многочленов для всех построимых чисел должны быть степенями двойки.