Страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение квадратного трёхчлена.

1. Сформулируйте определение квадратного трёхчлена.

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — это переменная, $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Дадим более подробное пояснение к определению:

• Многочлен вида $ax^2 + bx + c$: Это означает, что выражение состоит из трёх частей (одночленов), которые складываются или вычитаются.
  • $ax^2$ — первый член, содержащий переменную в квадрате.
  • $bx$ — второй член, содержащий переменную в первой степени.
  • $c$ — третий член, являющийся константой (свободный член).
• $x$ — переменная: Это неизвестная величина, вместо которой можно подставлять различные числовые значения.
• $a, b, c$ — коэффициенты: Это заданные числа.
  • $a$ — старший коэффициент (при $x^2$).
  • $b$ — второй коэффициент (при $x$).
  • $c$ — свободный член.
• Условие $a \neq 0$: Это ключевое требование. Если бы коэффициент $a$ был равен нулю, то слагаемое $ax^2$ стало бы равным нулю, и выражение приняло бы вид $bx + c$. Такой многочлен является линейным двучленом, а не квадратным трёхчленом.

Название "квадратный" происходит от того, что наибольшая степень переменной $x$ равна 2 (квадрат). Название "трёхчлен" — от того, что в общем виде он состоит из трёх членов.

Примеры:

• В трёхчлене $5x^2 - 3x + 7$ коэффициенты равны: $a=5, b=-3, c=7$.
• В трёхчлене $-x^2 + 4$ коэффициенты равны: $a=-1, b=0, c=4$. Это неполный квадратный трёхчлен, так как коэффициент при $x$ равен нулю.

Ответ: Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

2. Что называют старшим членом квадратного трёхчлена?

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём обязательно условие, что $a \neq 0$.

Этот многочлен состоит из трёх членов (одночленов), которые принято располагать в порядке убывания степеней переменной $x$:

1. $ax^2$ — член с переменной во второй степени.
2. $bx$ — член с переменной в первой степени.
3. $c$ — свободный член (можно считать его членом с переменной в нулевой степени, так как $c = c \cdot x^0$).

Старшим членом многочлена, записанного в стандартном виде, называется его член с наибольшим показателем степени переменной.

В квадратном трёхчлене $ax^2 + bx + c$ наивысшая степень переменной равна 2. Следовательно, член $ax^2$ является старшим членом. Коэффициент $a$ при этом называют старшим коэффициентом.

Ответ: Старшим членом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называют одночлен $ax^2$.

3. Что называют старшим коэффициентом квадратного трёхчлена?

Квадратным трёхчленом называется многочлен стандартного вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — это переменная, а $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём обязательным условием является $a \neq 0$. Если $a = 0$, выражение перестаёт быть квадратным.

Коэффициенты этого трёхчлена имеют свои названия:

• $a$ — коэффициент при $x^2$;
• $b$ — коэффициент при $x$ (второй коэффициент);
• $c$ — свободный член.

Старшим коэффициентом многочлена называют коэффициент при его члене с наивысшей степенью переменной. В случае квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ наивысшая степень переменной $x$ равна 2.

Следовательно, старшим коэффициентом квадратного трёхчлена является коэффициент $a$.

Этот коэффициент играет важную роль, так как он определяет форму и направление графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Например, если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, а если $a < 0$ — вниз.

Примеры:

• В трёхчлене $3x^2 - 5x + 2$ старший коэффициент равен $3$.
• В трёхчлене $-x^2 + 7x$ (можно представить как $-1x^2 + 7x + 0$) старший коэффициент равен $-1$.
• В трёхчлене $x^2 - 9$ (можно представить как $1x^2 + 0x - 9$) старший коэффициент равен $1$.

Ответ: Старшим коэффициентом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называют коэффициент $a$, стоящий при переменной в квадрате ($x^2$).

4. Какую функцию называют квадратичной?

Квадратичной функцией (также известной как параболическая функция или многочлен второй степени) называют функцию, которую можно представить в виде формулы $y = ax^2 + bx + c$.

В этой формуле:
- $x$ — это независимая переменная (аргумент).
- $y$ (или $f(x)$) — это зависимая переменная (значение функции).
- $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты.

Существует очень важное условие для коэффициента $a$: он не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если бы $a$ был равен нулю, слагаемое $ax^2$ исчезло бы, и функция стала бы линейной ($y = bx + c$), а не квадратичной.

Коэффициенты имеют свои названия:
- $a$ — старший или первый коэффициент.
- $b$ — второй коэффициент.
- $c$ — свободный член.

Графиком квадратичной функции всегда является кривая, называемая параболой. Направление ветвей параболы зависит от знака старшего коэффициента $a$:
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Примеры квадратичных функций:
- $y = 2x^2 - 4x + 1$ (здесь $a=2, b=-4, c=1$)
- $y = -x^2 + 9$ (здесь $a=-1, b=0, c=9$) — неполная квадратичная функция.
- $y = 3x^2 + x$ (здесь $a=3, b=1, c=0$) — неполная квадратичная функция.

Областью определения любой квадратичной функции является множество всех действительных чисел, то есть $x$ может быть любым числом.

Ответ: Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

5. Что является графиком функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0?$

Функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ – некоторые числовые коэффициенты, при условии, что $a \neq 0$, называется квадратичной функцией.

Графиком такой функции является кривая линия, называемая параболой.

Основные характеристики этой параболы и ее расположение на координатной плоскости полностью определяются коэффициентами $a, b$ и $c$:

Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$.
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы является ее ключевой точкой — точкой экстремума (минимума при $a > 0$ или максимума при $a < 0$). Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Точки пересечения с осями координат:
- С осью ординат (Oy): пересечение происходит в точке, где $x=0$. Подстановка этого значения в уравнение функции дает $y=c$. Координаты точки: $(0, c)$.
- С осью абсцисс (Ox): точки пересечения (или нули функции) соответствуют решению квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Их количество определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
-- при $D > 0$ — две точки пересечения;
-- при $D = 0$ — одна точка касания (вершина параболы лежит на оси Ox);
-- при $D < 0$ — точек пересечения с осью Ox нет.

Важно отметить, что именно условие $a \neq 0$ гарантирует, что функция является квадратичной, а ее график — параболой. В случае $a=0$ функция вырождается в линейную $y=bx+c$, графиком которой является прямая.

Ответ: парабола.

6. Как вычислить абсциссу $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$?

Абсциссу $x_0$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, можно вычислить, приведя это уравнение к вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Этот процесс называется выделением полного квадрата.

Сначала вынесем коэффициент $a$ за скобки у слагаемых, содержащих $x$:
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$.

Затем дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{b}{2a})^2$:
$y = a \left( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right) + c$.

Теперь первые три слагаемых в скобках можно свернуть по формуле квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:
$y = a \left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$.

Раскроем внешние скобки, умножив $a$ на каждое слагаемое внутри них:
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$.

Представим полученное уравнение в стандартной вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, чтобы явно увидеть координаты вершины:
$y = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)$.

Сравнивая это уравнение с каноническим видом $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, мы видим, что абсцисса вершины $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Альтернативный способ, использующий математический анализ, заключается в нахождении производной функции. Вершина параболы является ее точкой экстремума, в которой производная равна нулю. Производная функции $y(x)$ равна $y' = 2ax + b$. Приравняв ее к нулю, получаем $2ax_0 + b = 0$, откуда следует та же самая формула: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Ответ: Абсциссу $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляют по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

7. Как найти ось симметрии графика функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$?

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \ne 0$) является парабола. Парабола — это симметричная кривая, и её ось симметрии представляет собой вертикальную прямую, проходящую через вершину параболы. Следовательно, для нахождения оси симметрии необходимо определить абсциссу (координату $x$) вершины.

Абсциссу вершины можно найти, преобразовав уравнение функции к каноническому виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Это преобразование выполняется методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим процесс преобразования для исходной функции:

1. Вынесем коэффициент $a$ за скобки, сгруппировав члены, содержащие $x$:
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{b}{2a})^2$:
$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

3. Используя формулу полного квадрата $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$, свернем часть выражения:
$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

4. Раскроем внешние скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить канонический вид:
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
$y = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Из полученного уравнения в канонической форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ видно, что абсцисса вершины $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Поскольку ось симметрии является вертикальной прямой, проходящей через вершину, её уравнение имеет вид $x = x_0$. Таким образом, уравнение оси симметрии графика функции $y = ax^2 + bx + c$ определяется формулой:
$x = -\frac{b}{2a}$

Чтобы найти ось симметрии, нужно взять коэффициенты $a$ и $b$ из уравнения вашей функции и подставить их в эту формулу.

Ответ: Ось симметрии графика функции $y = ax^2 + bx + c$ — это вертикальная прямая, уравнение которой находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.

8. Как найти вершину параболы $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$?

Вершина параболы — это её точка экстремума (минимум, если ветви параболы направлены вверх, или максимум, если ветви направлены вниз). Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, можно найти несколькими способами.

Способ 1: По формулам

Это наиболее прямой и быстрый способ нахождения координат вершины. Существуют готовые формулы для абсциссы ($x_0$) и ординаты ($y_0$) вершины.

1. Находим абсциссу вершины ($x_0$)

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Эта формула получается из нахождения точки экстремума функции с помощью производной. Производная функции $y(x) = ax^2 + bx + c$ равна $y'(x) = 2ax + b$. В точке экстремума производная равна нулю: $2ax + b = 0$, откуда $x = -\frac{b}{2a}$.

2. Находим ординату вершины ($y_0$)

Чтобы найти ординату, нужно подставить найденное значение $x_0$ в исходное уравнение параболы:

$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c$

После упрощения этого выражения можно получить и прямую формулу для $y_0$:

$y_0 = a(\frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Часто эту формулу записывают через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$y_0 = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{D}{4a}$

Таким образом, координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти, просто подставив коэффициенты $a, b, c$ в эти две формулы.

Ответ: Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.

Способ 2: Выделение полного квадрата

Этот метод заключается в приведении уравнения параболы из вида $y = ax^2 + bx + c$ к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, который называется вершинной формой. Из этой формы координаты вершины $(x_0, y_0)$ видны сразу.

Процесс преобразования выглядит следующим образом:

1. Вынесем коэффициент $a$ за скобки у первых двух слагаемых:

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}$:

$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

3. Свернем полный квадрат и вынесем оставшийся член за скобки, умножив его на $a$:

$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

4. Сравнивая полученное уравнение с вершинной формой $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, получаем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Этот метод более громоздкий для вычислений, но он наглядно показывает, как стандартная форма уравнения связана с положением вершины.

Ответ: Необходимо привести уравнение $y = ax^2 + bx + c$ к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ путем выделения полного квадрата. Числа $x_0$ и $y_0$ и будут координатами вершины параболы.

9. Если $a > 0$, то какое утверждение верно:

а) ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх;

б) ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вниз?

В уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, которое описывает параболу, знак коэффициента $a$ при $x^2$ определяет направление её ветвей.

• Если коэффициент $a$ положителен ($a > 0$), то ветви параболы направлены вверх.
• Если коэффициент $a$ отрицателен ($a < 0$), то ветви параболы направлены вниз.

В условии задачи дано, что $a > 0$. Исходя из этого, мы можем проанализировать предложенные утверждения.

а) ветви параболы y = ax² + bx + c направлены вверх;
Это утверждение является верным. Так как по условию $a > 0$, это в точности соответствует правилу, согласно которому ветви параболы направлены вверх.

б) ветви параболы y = ax² + bx + c направлены вниз?
Это утверждение является неверным. Ветви параболы были бы направлены вниз только при условии $a < 0$, что противоречит условию задачи.

Таким образом, верным является утверждение а).

Ответ: а).

10. Если $a < 0$, то какое утверждение верно:

a) ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх;

б) ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вниз?

Рассмотрим квадратичную функцию, график которой — парабола, заданная уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Направление ветвей этой параболы определяется знаком коэффициента $a$ при члене $x^2$.

• Если коэффициент $a > 0$ (положительный), то ветви параболы направлены вверх.
• Если коэффициент $a < 0$ (отрицательный), то ветви параболы направлены вниз.

Согласно условию задачи, нам дано, что $a < 0$. Проанализируем на основе этого оба утверждения.

а) ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх;

Утверждение о том, что ветви параболы направлены вверх, является верным только при условии $a > 0$. Однако, в нашей задаче $a < 0$. Следовательно, это утверждение ложно.

Ответ: утверждение неверно.

б) ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вниз?

Утверждение о том, что ветви параболы направлены вниз, является верным при условии $a < 0$. Это в точности соответствует условию, данному в задаче. Следовательно, это утверждение истинно.

Ответ: утверждение верно.

11. Опишите алгоритм построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$.

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \ne 0$) является парабола. Для ее построения необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Определить направление ветвей параболы.

   Направление ветвей зависит от знака старшего коэффициента $a$. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

   Ответ: Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$: при $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз.

2. Найти координаты вершины параболы.

   Вершина параболы — это ее точка экстремума (минимума или максимума). Координаты вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:

   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

   Ордината вершины находится подстановкой найденной абсциссы $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b x_0 + c$.

   Ответ: Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ находятся по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = a(x_0)^2 + b x_0 + c$.

3. Определить ось симметрии параболы.

   Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы, относительно которой график симметричен. Ее уравнение совпадает с абсциссой вершины.

   Уравнение оси симметрии: $x = x_0$, то есть $x = -\frac{b}{2a}$.

   Ответ: Ось симметрии параболы — это прямая, заданная уравнением $x = -\frac{b}{2a}$.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

   • С осью ординат (осью Oy): Для нахождения этой точки необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; c)$.

   • С осью абсцисс (осью Ox): Для нахождения этих точек необходимо подставить $y=0$ и решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

     • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$.
     • Если $D = 0$, уравнение имеет один корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси Ox в одной точке — своей вершине.
     • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

   Ответ: Точка пересечения с осью Oy — $(0; c)$. Точки пересечения с осью Ox (нули функции) находятся как корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

5. Найти несколько дополнительных точек.

   Для более точного построения графика полезно найти еще несколько точек. Для этого выбирают 1-2 значения аргумента $x$ справа или слева от оси симметрии (например, $x_0 + 1$, $x_0 + 2$) и вычисляют для них соответствующие значения функции $y$. Затем, используя свойство симметрии, находят точки с другой стороны от оси. Если точка $(x_0 + k; y_k)$ принадлежит параболе, то и симметричная ей точка $(x_0 - k; y_k)$ также принадлежит параболе.

   Ответ: Для уточнения формы графика вычисляют значения функции для нескольких значений $x$, близких к вершине, и используют ось симметрии для нахождения симметричных им точек.

6. Построить график.

   На координатной плоскости отметить вершину параболы, точки пересечения с осями координат и дополнительные точки. Провести ось симметрии (обычно пунктирной линией). Соединить все отмеченные точки плавной линией, учитывая направление ветвей.

   Ответ: Отметить все найденные точки на координатной плоскости и соединить их плавной кривой — параболой.